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Hallo :), 

ich wollte fragen ob jemand mir sagen könnte, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe. 

Aufgabe: Zeigen Sie, dass für alle x ∈ R \ {1} mit |x| ≥ 1 die Folge n → xn nicht in R konvergiert.

Meine Lösung:

Bild Mathematik

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Ja würde sagen dass ist richtig mit der verwendung der Bernoulliungleichung. nur am anfang noch die 1 ausschließen, denn 1n ist ja beschränkt und dann passt auch die erste zeile in deinem beweis

EDIT: Zitat:

" dass für alle x ∈ R \ {1} mit |x| ≥ 1 die Folge n → xn nicht in R konvergiert."

Wolltest du schreiben:

" dass für alle x ∈ R \ {1} mit |x| ≥ 1 die Folge n → xn in R nicht konvergiert." ? 


Und warum ist dir "in R" wichtig? Es kann kaum plötzlich eine komplexe Zahl herauskommen? 

Ich habe den Satz in der Überschrift etwas umgestellt. 

wobei du auch -1 ausschließen musst denn -1 ≤ (-1)n ≤ 1 also beschränkt

und diese Folge hat aber 2 Häufungspunkte also nicht konvergent

am besten gleich schreiben für |x| > 1 und den Fall x = -1 einzeln betrachten

1 Antwort

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Du kannst es auch so  machen. Ang. xn x^n ist konvergent gegen den Grenzwert a a für  x>1 |x|> 1. Dann müsste für jedes δ>0 \delta > 0 gelten xna<δ |x^n - a | <\delta für alle n>n0 n > n_0 . Insbesondere auch für δ<1 \delta < 1

Für x=1+ϵ |x| = 1 + \epsilon mit ϵ>0 \epsilon > 0 gilt

xnaxna>1+nϵa |x^n - a | \ge |x|^n -|a| > 1+n\epsilon -|a| wähle naϵ n \ge \frac{|a|}{\epsilon} , dann folgt xna1 |x^n - a| \ge 1 im Widerspruch zur Annahme.

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