Für alle x ∈ R \ {1} mit |x|≥1 konvergiert die Folge n → xn nicht in R. Kann man das so zeigen? Analysis

Question

Hallo :), 

ich wollte fragen ob jemand mir sagen könnte, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe. 

Aufgabe: Zeigen Sie, dass für alle x ∈ R \ {1} mit |x| ≥ 1 die Folge n → xⁿ nicht in R konvergiert.

Meine Lösung:

Comments

Ja würde sagen dass ist richtig mit der verwendung der Bernoulliungleichung. nur am anfang noch die 1 ausschließen, denn 1ⁿ ist ja beschränkt und dann passt auch die erste zeile in deinem beweis

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EDIT: Zitat:

" dass für alle x ∈ R \ {1} mit |x| ≥ 1 die Folge n → xⁿ nicht in R konvergiert."

Wolltest du schreiben:

" dass für alle x ∈ R \ {1} mit |x| ≥ 1 die Folge n → xⁿ in R nicht konvergiert." ? 

Und warum ist dir "in R" wichtig? Es kann kaum plötzlich eine komplexe Zahl herauskommen? 

Ich habe den Satz in der Überschrift etwas umgestellt. 

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wobei du auch -1 ausschließen musst denn -1 ≤ (-1)ⁿ ≤ 1 also beschränkt

und diese Folge hat aber 2 Häufungspunkte also nicht konvergent

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am besten gleich schreiben für |x| > 1 und den Fall x = -1 einzeln betrachten

Answer 1

Du kannst es auch so  machen. Ang. $x^n$ ist konvergent gegen den Grenzwert $a$ für  $|x|> 1$. Dann müsste für jedes $\delta > 0$ gelten $|x^n - a | <\delta$ für alle $n > n_0$. Insbesondere auch für $\delta < 1$

Für $|x| = 1 + \epsilon$ mit $\epsilon > 0$ gilt

$$|x^n - a | \ge |x|^n -|a| > 1+n\epsilon -|a|$$ wähle $n \ge \frac{|a|}{\epsilon}$, dann folgt $|x^n - a| \ge 1$ im Widerspruch zur Annahme.