Lineare Abbildung eines Polynoms

Question

Ich habe ein Problem mit folgendem Beispiel:

Im(T)=Bild von T
span=Erzeugnis

Definiert ist folgende lineare Abbildung:

T:P₂(R) → M_2x2(R) durch:
$$T(f(x))=\begin{pmatrix} f(1)-f(2) & 0 \\ 0 & f(0) \end{pmatrix}$$
Wir haben also eine Basis B={1,x,x²}
Also gilt:
Im(T)=span(T(B)) = span({T(1),T(x),T(x²)})

$$=span({ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}})$$

Also ist die Basis von Im(T):
$$=span(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix})$$

Nun ich bin kein Matrizenexperte darum habt etwas Nachsicht. Wieso ist bei der 2. Matrize im span ein -1 und keine 1? Und woher kommt die -3 in der dritten Matrize?

Answer 1

Wenn du T(f(x)) berechnen willst, musst du die

4 Elemente der Matrix berechnen:

Hier ist ja f(x) = x

Die Basis ist ja { 1 ; x ; x² }

also ist bei der zweiten Matrix f(x) = x

also Matrixelemente

oben links nach Def  f(1) - f(2) =   1 - 2 = -1

oben rechts   0

unten links  0

unten rechts  f(0) also 0

Damit ist die 2. Matrix

   -1      0
   0       0

Entsprechend bei der 3.

Comments

Hier geht es ja um Polynome. Müsste nicht f(0)=1, f(1)=x und f(2)=x² sein?

Wenn f(0)=0 ergibt, woher kommt dann die 1 in der ersten Matrix? $$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Du schreibst "Entsprechend bei der 3.". Wie komme ich von "1-2" auf "-3"?

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. Müsste nicht f(0)=1, f(1)=x und f(2)=x² sein? Nein,

es sind ja drei Polynome, sagen wir mal f, g, h

Und es ist   f(x)=1,   g(x)=x und    h(x)=x² sein?

Und für f(1) bzw. f(2) etc musst du statt x dann 1 bzw. 2 schreiben,

also   f(1) = 1  und   g(1) = 1   und  h(1) = 1

aber

f(2) = 1    und   g(2) = 2   und  h(2) = 4