Binomischer Lehrsatz unter Verwendung des Summenzeichens - Ein Beispiel machen für n=1.

Question

Unter Verwendung des Summenzeichens kann der Binomische Lehrsatz so geschrieben werden:
$$(a+b)^{ n }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}{ a }^{ n-k }\cdot { b }^{ k } }$$

Ich möchte in eigener Sache ein Beispiel für n=1 machen. Weiss aber nicht, wie ich das einsetzen soll, 
weil ich gleichzeitig das k = (welcher Wert?) und das n=1 einsetzen soll. 

Also der eine Summand soll mit dem Exponenten = 0 sein und der zweite Summand mit dem Exponent = 1. Dabei bleiben aber die k bestehen und das soll es ja nicht, k soll auch einen Wert haben deswegen weiss ich nicht wie ich die Summanden von k=0 bis n=1 aufsummieren soll. 

Frage
Kann mir jemand helfen oder ein Beispiel machen ? 

Comments

$$n=1:\ (a+b)^1=\sum_{k=0}^1\binom 1ka^{1-k}\cdot b^k=\binom 10a^{1-0}\cdot b^0+\binom 11a^{1-1}\cdot b^1=a+b.$$

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Habe folgendes gerade herausgefunden:

$$Für\quad n=1\\ (a+b)^{ n }=\sum _{ k=0 }^{ 1 }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}{ a }^{ n-k }\cdot { b }^{ k } } \\ =\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}{ a }^{ 1-0 }\cdot { b }^{ 0 }+\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}{ a }^{ 1-1 }\cdot { b }^{ 1 }\\ =\quad 1*a*1\quad +\quad 1*1*b\\ =\quad a+b$$

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Achso, ich sehe, dass meine Schreibweise in der ersten Zeile falsch ist.

Ich muss also sagen, dass die Aufsummierung für n=1 bei k=0 beginnt und und bei k=1 aufhört? (Das ist das, was ich nicht verstanden habe.) 

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Das Problem war, dass ich bei n=0 anfangen wollte und bei n=1 aufhören wollte und dann hätte ich in der Aufsummierung immernoch ein k ohne Wert stehen. 

Answer 1

Wenn n=1 ist, hat die Summe zwei Summanden, einen mit k=0 und einen mit k=1

also steht da

(a+b)¹ =   (1 über 0)*a¹ *b⁰ +   (1 über 0)*a⁰ *b¹ 

         =            1 * a  * 1         +    1 * 1 * b 

         =                    a            +           b

Comments

Achso, ich wollte eben bei dem Summernzeichen mit der Aufsummierung wie folgt anfangen: Beginnen bei n=0 und aufhören bei n=1 

So hätte ich allerdings ein k ohne Wert stehen. 

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Ich übe solche sachen damit, obwohl das Resultat anderst ist als die Potenz 102⁴ habe ich es glaube ich verstanden. :)