Tangentenprobleme 1, 2 und 3

Question

Wie löse ich folgende Aufgabe?

Ein Straßenstück wird durch die Gleichung y= 0,1x^2-0,6x +2,9; x ∈ [-1; 6] beschrieben (x, y in 100m).

a) Die Straße soll für x < -1 geradlinig ohne Knick weitergeführt werden. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die dieses Straßenstück beschreibt.

b) Vom Punkt P ( -1/ 0) soll eine weitere geradlinige Straße gebaut werden, die knickfrei in die vorhandene Straße einmündet. Wo befindet sich die Einmündung?

Comments

Was soll denn 1, 2 und 3 bedeuten?

Answer 1

(a) Um die Gerade für die Straße im Bereich \(x < -1\) zu berechnen, benötigt man einen Punkt und eine Steigung - hier an der Position \(x=-1\). Die Y-Koordinate des Punkts ist

$$y(x=-1) = 0,1x^2 - 0,6x +2,9 = 0,1(-1)^2 - 0,6 \cdot (-1) + 2,9 = 3,6$$

Die Ableitung (Steigung) der Funktion ist

$$y'(x=-1) = 0,2x - 0,6 = 0,2 \cdot (-1) - 0,6 = -0,8$$

D.h. die Gerade verläuft durch \((-1|3,6)\) und hat dort die Steigung \(-0,8\). Allgemein kann man für eine Geradengleichung mit Steigung \(m\), die durch \((x_0|y_0)\) verläuft, schreiben

$$y = m \left( x - x_0\right) + y_0$$

also hier

$$y= -0,8 \left( x- (-1) \right) + 3,6 = -0,8x + 2,8 $$

(b) bevor es weiter geht - mache Dir eine Skizze

~plot~ 0.1x^2 - 0.6x + 2.9;-0.8x+2.8;{-1|3.6};{-1|0};0.4(x+1);{5|2.4};[[-2|8|-2|6]] ~plot~

Die Aufgabe besteht darin, einen Punkt \(E=(x|y)\) zu finden, der auf der Parabel (der Kurve) liegt und wo die Gerade \(PE\) die gleiche Steigung hat, wie die Parabel in \(E\). Also

$$y'= 0,2x - 0,6 = \frac{E_y-P_y}{E_x-P_x} = \frac{y - 0}{x - (-1)}= \frac{0,1x^2 - 0,6x +2,9}{x+1}$$

$$(0,2x-0,6)(x+1) = 0,1x^2 - 0,6x+2,9$$ $$0,1x^2 +0,2x -3,5 = 0$$ $$x^2 + 2x - 35=0 \quad \Rightarrow x_{1,2}=-1 \pm \sqrt{1+35}=-1\pm 6$$da die Kurve bei \(x\lt 0\) endet, fällt die Lösung \(x_2=-7\) raus. Bleibt nur \(x_1=5\). Die zugehörige Y-Koordinate ist \(y(5)=2,4\)
$$E=(5|2,4)$$
Gruß Werner

Answer 2

a) y'=0,2x-0,6. An der Stelle -1 ist m=0,8 und die Parabel hat den Punkt (-1|3,6). Mit Punkt-Steigungs-Form führt das zur Geradengleichung y=2,8-0,8x.

b) Was ist hier neu?

Answer 3

b.)
Hier die Skizze ( symbolisch )

f ( x )  = 0.1 * x² - 0.6 x + 2.9

( x | y )
( x1 | f ( x1 ) )
( -2 | 0 )

1.Ableitung
f ´( x ) = 0.2 * x - 0.6

Tangente
m = Δ y / Δ x = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 )
m =
( 0.1 * x1² - 0.6 x1 + 2.9 - 0) / (  x1 -  ( -2 )) = f ´( x^1 )
( 0.1 * x1² - 0.6 x1 + 2.9 ) / (  x1 -  ( -2 )) = 0.2 * x1 - 0.6
x1 = 4.71

Koordinaten
y = f ( 4.71 ) = 2.29
f ´( x ) = m = f ´( 4.71 ) = 0.342
Tangente
y = m * x + b
2.29 = 0.342 * 4.71 + b
b = 0.683

t ( x ) = 0.342 * x + 0.683

Comments

Ich sehe gerade.
( -1 | 0 )
soll der Anfangspunkt sein.
Bitte die Werte korrigieren.
Falls das nicht gelingt dann wieder melden.