Für n=1 ist es wohl klar.
Angenommen, es stimmt für n, dann gilt
$$ \sum_{k=n+1}^{2(n+1)-1}{\frac{1}{k}} $$
$$ =\sum_{k=n+1}^{2n+1}{\frac{1}{k}} $$
Jetzt soll aber die Summe bei n beginnen, also müssen wir den
zusätzlichen Summanden wieder abziehen
$$ = -\frac{1}{n}\sum_{k=n}^{2n+1}{\frac{1}{k}} $$
Und damit die Ind. vor. greift, werden die letzten beiden extra notiert
$$ = -\frac{1}{n}\sum_{k=n}^{2n-1}{\frac{1}{k}} +\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}$$
$$ =\sum_{k=n}^{2n-1}{\frac{1}{k}} +\frac{1}{2n} -\frac{1}{n}+\frac{1}{2n+1}$$
$$ =\sum_{k=n}^{2n-1}{\frac{1}{k}} +\frac{-1}{2n} +\frac{1}{2n+1}$$
Nun die Ind. vor.
$$ =\sum_{k=1}^{2n-1}{\frac{(-1)^k}{k}} +\frac{-1}{2n} +\frac{1}{2n+1}$$
und weil 2n+2 gerade und 2n+1 ungerade sind
$$ =\sum_{k=1}^{2n-1}{\frac{(-1)^{k+1}}{k}} +\frac{(-1)^{2n+1}}{2n} +\frac{(-1)^{2n+2}}{2n+1}$$
$$ =\sum_{k=1}^{2(n+1)-1}{\frac{(-1)^{k+1}}{k}} $$
