Gruppen Gruppenhomomorphismus

Question

 Hallo:)

ich verstehe leider alles rund um Gruppen nicht , deshalb hoffe ich auf eure Unterstützung und danke schon im Voraus!:)

Answer 1

a)  f injektiv und angenommen Kern(f) ≠ { e } .

Dann gibt es ein x ∈ Kern(f)  mit x ≠ e.

Dann gilt  weil x ∈ Kern(f) ist, gilt  f(x) = e

und  wie bei jedem Gruppenhomomorphismus f(e) = e

also  f(x) = f(e)  aber  x ≠ e. im Widerspruch zu f injektiv.

Andere Richtung:  Sei Kern(f) = {e }  und  x,y aus G mit

f(x) = f(y)   ==>   f(x) * (f(y)^-1 = e_H

                ==>     f(x) * f(y^-1 )=  e_H

                 ==>     f(x *y^-1 )=  e_H

                ==>  x *y^-1 = e  weil Kern(f) =  {e }

                  ==>   x = y  , also f injektiv.          q.e.d.