Bereichsintegral f(x,y) = x^2 -y^2

Question

Berechnen sie das Bereichsintegral der Funktion f(x,y)=x²-y²

über den Bereich: 0<= y <= x, 1<=  x²+y² <= 4

dy kann ich noch bilden aber wie mache ich weiter ? 

Answer 1

 

das machst du am besten in Polarkoordinaten:
aus 1<= x^2+y^2=r^2<=4 folgt r∈ [1,2]

Nun brauchen wir noch die Grenzen für den Winkel φ, die bekommt man 

mithilfe der zweiten Ungleichung:

0<= y <= x 

Ohne groß rechnen zu müssen erkennt man , dass es sich hierbei um die Fläche 

unterhalb der Geraden y=x im ersten Quadranten handelt, vergleiche hiermit:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=0%3C%3D+y+%3C%3D+x

 Also ist φ ∈[0,π/4] .

Nun zur Berechnung des Integrals, dafür bleibt noch f in Polarkoordinaten auszudrücken:

f=x^2-y^2=r^2cos^2(φ)-r^2sin^2(φ)=r^2*(cos^2(φ)-sin^2(φ)=r^2*cos(2φ)

Man benötigt noch das Flächenelement in Polarkoordinaten: dA=rdrdφ

Dann ist

$$ I=\int fdA=\int_{0}^{\pi/4}d\varphi\int_{1}^{2}rdr*r^2cos(2\varphi)\\=\int_{0}^{\pi/4}cos(2\varphi)d\varphi *\int_{1}^{2}r^3dr\\=\frac{1}{2}*\frac{15}{4}=\frac{15}{8} $$