Für welche a, b ist f stetig und differenzierbar

Question

Bitte um eure Hilfe ich versteh die Aufgabe nicht : 

Ich soll a und b so bestimmen,

1.dass f stetig ist 

2. und f differenzierbar auf ganz R ist. Hierzu soll ich für alle solche a und b die Ableitung von f bestimmen. 

Die Funktion lautet: 

          ax+b,   x < 1

f(x)= 

          x^2, x>=1 

Ich soll auch noch beantworten, wenn ich a=2 und b=2 hätte f in x=1 trotzdem nicht differenzierbar ist.

Answer 1

Hallo mel,

f(x)  =    {  ax + b   für  x<1

             {     x²       für  x ≥ 1  

a)  

f  soll stetig sein:

lim_x→1-  f(x)  =  a+b   

lim_x→1+  f(x)  = f(1) = 1 

a+b = 1   →  (genau)  für  b = 1 - a  ist die jeweilige Funktion stetig 

b)

f(x)  =    {  ax + 1- a  für  x<1
             {    x²      für  x ≥ 1 

f soll differenzierbar sein (die in a) behandelte Stetigkeit von f ist hierfür Voraussetzung!):

f '(x)  =  {    a        für  x < 1

             {    2x      für  x > 1 

Für die Nahtstelle x = 1 gilt:

lim_{x→ 1-}   f '(x)   =  a 
lim_{x→ 1+}  f '(x)  =  2   

→  (genau) für  a = 2 und b = -1  ist f differenzierbar mit  

f ' (x) =  {    2        für  x < 1

             {    2x      für  x ≥ 1

Graph der differenzierbaren Funktion f

~plot~ (x>1)*x^2+(x<1)* (2x-1) ~plot~

Gruß Wolfgang

Answer 2

Und noch die Beantwortung von

Ich soll auch noch beantworten, wenn ich a=2 und b=2 hätte f in x=1 trotzdem nicht differenzierbar ist

f ( x ) = x^2
f ( 1 ) = 1

f ( x ) = 2 * x + 2
f ( 1 ) = 2

Die Funktion ist nicht stetig und somit auch nicht
differenzierbar

Comments

Mit  

→  (genau) für  a = 2 und b = -1  ist f differenzierbar 

war auch die Frage  

> Ich soll auch noch beantworten, wenn ich a=2 und b=2 hätte f in x=1 trotzdem nicht differenzierbar ist

bereits beantwortet