Konvergenz von Funktionsfolge

Question

konvergieren diese Funktionsfolgen gleichmäßig?

f_n : IR⁺ → IR⁺  mit f_n(x) = min (1, nx)

g_n : IR → IR mit g_n(x) = max(-1, min (1, nx))

Danke

Comments

Skizziere die Funktionen. Danach kannst Du Dir ueberlegen, wie die punktweise Grenzfunktion jeweils aussieht (falls es eine gibt). Erst dann kannst Du diskutieren, ob die Konvergenz vielleicht sogar gleichmaessig ist.

Answer 1

Hi,

wenn die erste Funktionenfolge gleichmäßig konvergent gegen f(x) sein sollte, müsste folgendes gelten:

$$\forall \epsilon >0 \ \exists \ n_{\epsilon} \in \mathbb{N} \ \forall n \ge n_{\epsilon}: \ |f_n(x)-f(x)|< \epsilon$$

für alle x ∈ ℝ⁺.

D.h.

$$|min(1,nx)-f(x)|<\epsilon$$

Klar ist, dass min(1,nx) = 1 für alle x ∈ ℝ⁺, wenn groß genug ist. D.h., dass dein f(x)=1 die einzige mögliche Grenzfunktion sein könnte. Sie ist allerdings nicht die Grenzfunktion. Wieso?

Tipp: Dein

$$n_{\epsilon}$$

muss fest sein.