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konvergieren diese Funktionsfolgen gleichmäßig?

fn : IR+ → IRmit fn(x) = min (1, nx)

gn : IR → IR mit gn(x) = max(-1, min (1, nx))


Danke

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Skizziere die Funktionen. Danach kannst Du Dir ueberlegen, wie die punktweise Grenzfunktion jeweils aussieht (falls es eine gibt). Erst dann kannst Du diskutieren, ob die Konvergenz vielleicht sogar gleichmaessig ist.

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Hi,

wenn die erste Funktionenfolge gleichmäßig konvergent gegen f(x) sein sollte, müsste folgendes gelten:

ϵ>0  nϵN nnϵ :  fn(x)f(x)<ϵ\forall \epsilon >0 \ \exists \ n_{\epsilon} \in \mathbb{N} \ \forall n \ge n_{\epsilon}: \ |f_n(x)-f(x)|< \epsilon

für alle x ∈ ℝ+.

D.h.

min(1,nx)f(x)<ϵ|min(1,nx)-f(x)|<\epsilon

Klar ist, dass min(1,nx) = 1 für alle x ∈ ℝ+, wenn groß genug ist. D.h., dass dein f(x)=1 die einzige mögliche Grenzfunktion sein könnte. Sie ist allerdings nicht die Grenzfunktion. Wieso?

Tipp: Dein

nϵn_{\epsilon}

muss fest sein.

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