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 EDIT: Gleichschenkliges Trapez mit maximaler Fläche im Kreis einbeschreiben WhatsApp Image 2017-12-29 at 11.38.11 (2).jpeg 


ich komme hier nicht weiter, ich finde keinen Ansatz.

von

EDIT: Bitte Text jeweils abtippen: https://www.mathelounge.de/schreibregeln 

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Formel für Trapez aufstellen:

        F = ½ · (g1 + g2) · h.

Dabei sind g1 und g2 die parallelen Seiten und h deren Abstand.

Nebenbedingung aus der Aufgabenstellung als Gleichung formulieren:

        g1 = 2x

        g2 = 2r

        h2 = r2 - x2 

Nebenbedingung in Formel einsetzen:

        F(x) = ½ · (2x + 2r) · √(r2 - x2).

Hochpunkt bestimmen mit Analysis.

von 41 k  –  ❤ Bedanken per Paypal

F(x) = ½ · (2x + 2r) · √(x^{2} + r^{2}).

Gilt nur im Spezialfall  x = 0

So im Nachhinein betrachtet ist das tatsächlich etwas mager. Ich habe meine Lösung deshalb noch mal auf 0 ≤ x ≤ r verallgemeinet.

+1 Punkt

Ich habe x mal als die Höhe genommen. x steht hier ja eigentlich am Radius, der soll doch aber mit r gegeben sein oder nicht ?

x^2 + (a/2)^2 = r^2 --> a = 2·√(r^2 - x^2)

A = 1/2·(2·r + 2·√(r^2 - x^2))·x = x·(√(r^2 - x^2) + r)
A' = 1·(√(r^2 - x^2) + r) + x·(1/(2·√(r^2 - x^2))·(-2·x)) = (r·√(r^2 - x^2) - 2·x^2 + r^2)/√(r^2 - x^2)

A' = 0
r·√(r^2 - x^2) - 2·x^2 + r^2 = 0
r·√(r^2 - x^2) = 2·x^2 - r^2
r^2·(r^2 - x^2) = (2·x^2 - r^2)^2
r^4 - r^2·x^2 = 4·x^4 - 4·r^2·x^2 + r^4
4·x^4 - 3·r^2·x^2 = 0
x^2·(4·x^2 - 3·r^2) = 0
4·x^2 - 3·r^2 --> x = √3/2·r = 0.8660·r

von 281 k

mhhh, ja die Bezeichungen sind nicht eindeutig:

Musterlösung:

A(max) = (3√3)/4 * r^2    bei x =r/2

Ach jetzt ist mit klar was x ist. 

x ist bei mir a/2

a = 2·√(r^2 - x^2)

a/2 = √(r^2 - x^2) = √(r^2 - (√3/2·r)^2) = r/2

Damit kann ich also die Musterlösung bestätigen.

ich bin jz verwirrt, a/2 ist bei dir was?

Naja. a habe ich die Hälfte der oberen Seite genannt. a/2 ist daher die eine Hälfte. Das soll in der Aufgabe das x sein. Das x gehört also zu der Stelle an der die Höhe aufsetzt. So mus man davon ausgehen das die Stelle 0 im Kreismittelpunkt liegt. Das ist auch im nachhinein logisch. War für mich aber nicht gleich ersichtlich. Deswegen hatte ich einfach im ersten Anlauf definiert, dass bei mir x die Höhe ist. Im zweiten Anlauf würde ich das jetzt auch anders machen aber das ist ja eigentlich wurscht.

danke für den anfang! ich muss mich da noch etwas reinarbeiten, um einen besseren Blick dafür zu bekommen:-). Solche Aufgaben gehören nicht zu denen, wo ich mich gerne ran setzte.

Hier mal ein Update mit dem richtigen x.


Nebenbedingung
x^2 + h^2 = r^2 --> h = √(r^2 - x^2)

Hauptbedingung und Zielfunktion
A = 1/2·(2·r + 2·x)·√(r^2 - x^2) = (r + x)·√(r^2 - x^2)
A' = 1·√(r^2 - x^2) + (r + x)·1/(2·√(r^2 - x^2))·(- 2·x) = (r^2 - r·x - 2·x^2)/√(r^2 - x^2)

Extrempunkt A' = 0
r^2 - r·x - 2·x^2 = 0 --> x = r/2 [oder x = -r]

Berechnung der anderen Werte
h = √(r^2 - x^2) = √(r^2 - (r/2)^2) = √3/2·r = 0.8660·r
A = 1/2·(2·r + 2·(r/2))·(√3/2·r) = 3/4·√3·r^2 = 1.299·r^2


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