Dimension des Kernes bestimmen

Question

 Hallöle,

ich bräuchte eure Hilfe, also ich weiß wie man die Dimension ermittelt , aber ich weiß nicht wie ich auf den Kern kommen soll, da sich hier um ein 1x3 Matrix handelt.

Answer 1

Hallo Antaus,

Kern(λ)  ist die Lösungsmenge der Gleichung  

[2, -1, 1] · [x, y, z]^T = 0    ⇔   2·x - y + z  =  0 

Das ist im ℝ³ die Normalenform einer Ebene durch den Nullpunkt.

Die Dimension des Kerns ist also 2.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hi
Ansatz: $$ \begin{pmatrix} 2 & -1  & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x \\ y\\z \end{pmatrix} = 0 $$ $$ 2x - y + z = 0 \\z = y - 2x \Rightarrow \\ \begin{pmatrix} 2 & -1  & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x \\ y\\y - 2x \end{pmatrix} = 0 \\$$ \(x, y \) sind frei wählbar.
\( x=u, \ y=v \Rightarrow z = v - 2u \)
Dann ist \( \begin{pmatrix}2 & -1 &1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u\\v \\ v-2u\end{pmatrix}  = 0\) und \(\begin{pmatrix} u\\v \\ v-2u\end{pmatrix} \) können wir schreiben als  \(\begin{pmatrix} u\\v \\ v-2u\end{pmatrix} = u\begin{pmatrix}1 \\ 0\\ -2\end{pmatrix}+ v\begin{pmatrix} 0\\1 \\ 1\end{pmatrix}\) Damit ist $$Kern(\lambda) = \left \{u \begin{pmatrix}1 \\0 \\-2 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix}0 \\1 \\1 \end{pmatrix}  \bigg \vert \ u,v \in \mathbb{R} \right \}$$

Grüße 

Comments

@gorgar

> Kern(λ) = { a * [1,1,-1]^T |  a ∈ ℝ }   ?

Nach deiner Meinung ist  [0,1,1]^T ∉ Kern(λ), erfüllt also die Gleichung in der ersten Zeile deiner Antwort nicht ?

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Danke für deinen Hinweis, habe meine Antwort korrigiert.