Funktionenreihen untersuchen

Question

Die folgenden Funktionsreihen müssen jeweils auf punktweise und gleichmässige Konvergenz untersucht werden.
     Unendlich
1) ∑                nx² / (n³ + x³)            Für x∈ℝ     
    n=1


     unendlich
2) ∑              x²  /(1+x²)    Für x∈ℝ
    n=0 


ich bin über jeden Lösungsweg und über jede Lösung dankbar  

Answer 1

Die erste Summe hat wohl die Summanden

nx² / ( n³ + x³ )    mit n³ gekürzt

(x² / n³ )   / ( 1 + x³ / n³ )  geht also punktweise für jedes x 

gegen 0.

gleichmäßig konvergiert es aber nicht; denn 

nx² / ( n³ + x³ )  < eps 

führt auf 

n* ( x² - n² *eps) < eps * x³ 

und für  die Klammer links gibt es bei positivem x zu jedem eps 

sicherlich ein N, so dass für n > N   die Klammer negativ

ist , und die Ungleichung damit gilt. Allerdings hängt das N vom

Wert von x ab ( je größer x, desto größer muss N sein), also

ist die Konvergenz nicht gleichmäßig.

Bei der 2. Summe gibt es gar kein n ?????????????