Zeigen: Varianz der Bernoulliverteilung kleiner als 1/4

Question

Liebe Community

Wie kann ich zeigen, dass die Varianz der Bernoulli Verteilung kleiner als 1/4 ist ?

Ich hoff ihr könnt mir helfen

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Um welche Aufgabe geht es denn genau?

Answer 1

 

$$X \sim Ber(p)$$

Dann ist

$$Var(X) = p(1-p) = p-p^2$$

Es gilt $p(1-p) \le \frac{1}{4}$

Denn sei

$$f(p) = p-p^2 \\ f'(p) = 1-2p = 0 \Leftrightarrow p=\frac{1}{2} \\ f''\left(\frac{1}{2}\right) =-2 < 0$$

Für p=0.5 haben wir damit ein globales Maximum, daraus folgt:

$$Var(X) \le \frac{1}{2}\left(1- \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}$$