Zeigen Sie, dass D eine lineare Abbildung ist.

Question

könnte mir einer hier helfen? Wäre echt lieb

Es sei V=K[X] der Vektorraum der Polynome über einem Körper K der Charakteristik 0. Weiter sei D:V→V die Abbildung, die ein Polynom ƒ= ∑ⁿ_i=0a_iXⁱ auf seine formale Ableitung D(ƒ) =Σⁿ⁻¹_i=0(i+ 1)a_i+1Xⁱ abbildet.

--> Zeigen Sie, dass D eine lineare Abbildung ist.

:)

Answer 1

Da musst du - wie üblich - nur prüfen: Für alle Polynome f und g 

und alle a,b ∈ K gilt

D( a*f + b*g)= a*D(f) + b*D(g) 

Das ist wahr wegen der entsprechenden Ableitungsregeln 

(f+g) ' = f ' + g ' und  ( a*f) ' = a * f '

Comments

Ich bin skeptisch, dass ein Verweis auf die Ableitungsregeln ausreicht.

Die Ableitungsregeln werden üblicherweise für Funktionen mittels Differenzenquotient und Grenzwertbildung bewiesen.

Hier werden aber Polynome betrachtet, also im wesentlichen endliche Folgen.