Zeigen, dass eine Menge ein Untervektorraum von ℝ2×2 ist

Question

Es sei

und X ∈ V sei fest, aber beliebig.

Ich soll zeigen, dass die Menge V ein Untervektorraum von ℝ^2×2 ist. Gibt es dafür ein Kriterium und falls ja, kann mir jemand versuchen zu erklären, wie es konkret funktioniert? Danke schonmal (:

Comments

Was sind denn die UVR-Kriterien im Allgemeinen? 

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- UVR ist nicht die leere Menge
- Alle Vektoren im UVR müssen Abgeschlossen bzgl. Vektoraddition sein.
- Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation muss ebenfalls für alle Vektoren im UVR gelten.

<3

Answer 1

die UVR-Kriterien sind:

- V nicht leer: das ist offensichtlich erfüllt (wähle z.B e=f=h=0)

- wenn x,y ∈ V , dann muss auch x+y ∈ V sein:

das ist erfüllt, denn

$$\begin{pmatrix} h_1 & e_1 \\ f_1 & -h_1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} h_2 & e_2 \\ f_2 & -h_2 \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix} h_1+h_2 & e_1+e_2 \\ f_1+f_2 & -(h_1+h_2) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} h_3& e_3 \\ f_3 & -h_3 \end{pmatrix}$$

- wenn x∈V, dann muss auch α*x ∈ V (α∈ℝ):

passt auch, denn

$$\alpha \begin{pmatrix} h & e \\ f & -h \end{pmatrix}\\= \begin{pmatrix} \alpha h & \alpha e \\ \alpha f & -(\alpha h) \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix} h' & e' \\ f' & -h' \end{pmatrix}\\$$

Comments

Okay, also zusammengefasst:

- Der UVR V darf nicht leer sein.

- Zwei Elemente des UVR müssen addiert (Vektoraddition) wieder im UVR liegen.

- Eine beliebiges Element des UVR muss multipliziert (Skalarmulti.) mit einem Element des Körpers (hier ℝ) wieder im UVR liegen.

Ganz herzlichen dank!