Volumen eines Kristalls berechnen? (Geometrie)

Question

Aufgabenstellung:

Kristalle haben oft die Form eines regelmäßigen Sechsseitigen Prismas mit aufgesetzen Pyramiden. Berechne das Volumen und die Größe der Oberfläche des Kristalls:

Bild:

Meine Idee:

Das Volumen der beiden sechsseitigen Pyramiden berechnet man wie folgt:

V=2*((a²/2)*√3*h)

V=2*((3²/2)*√3*2.5)

V=38.971cm³

Für das Prisma in der Mitte:

V=((3*a²)/2)*√3*h

V=((3*3²)/2)*√3*5

V=116.913cm³

V_Gesamt=38.971cm³+116.913cm³

V_Gesamt=155.884cm³

Oberfläche Pyramiden:

O=((3*a)/2)*(a*√3+2*h_s)

d.h. wir brauchen hs

---->

h_s=√(h²+(a/2)²)

h_s=√(2.5²+(3/2)²)

h_s=2.92cm

O=2*(((3*2.5)/2)*(2.5*√3+2*2,92))

O=76.28cm²

Oberfläche vom Prisma:

O=3*a²*√3+(6*a*h)

O=3*3²*√3+(6*3*5)

O=136.77cm²

O_gesamt=76.28cm²+136.77cm²

O_gesamt=213.05cm²

Stimmt das?

Anton

Comments

Kann niemand helfen?? ;(

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Ich bin gerade dabei

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Okay, teile gerne auch Anstätze oder Fehler die du in meinen Rechnungen gefunden hast.

Answer 1

Könnte das Dein Ding sein?

Comments

Der Kollege sieht zumindestens so aus wie der in meinem Buch...

Wie gesagt:

Es sind zwei Pyramiden die auf einem sechsseitgen Prisma sitzen.

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Na, dann sollten sie kongruent sein.. ;-)

Gucks Du

SechsseitigesPrismasAufgesetzePyramiden.ggb (24 kb)

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Und wat sagt mit das jetzt?

Wie rechnet GeoGebra denn?

Was sind die Lösungen?

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Die Lösungen stehen in der CAS Spalte. Die Seiten und Flächen sind beschriftet - klick auf den blauen Punkt zum Anzeigen An/Aus

V ist klar?

h_s=sqrt(edgeAN²-edgeKL²/4)  =  3.605551275464 (Höhe eines Seitendreiecks)

O = 6 * 3*5 + 12 1/2 3 3.60555

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h_s=sqrt(edgeAN2-edgeKL2/4) 

Was ist das? 

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Ich mal Dir's noch mal auf..

O = 6 Rechtecke vom Prisma + 12 Dreiecke der Pyramiden, OK...

Die GeoGebra Bezeichnungen findest Du in Spalte Algebra, An/Aus dann siehts Du welche Fläche, Kante im Schaubild blickt.

 

Ich berechne zuerst eine Kante des Pyramidendreiecks, heißt Seitenkante

s=3.91 das braune Dreieck: s=sqrt(3²+2.5²)

Dann die Dreieckhöhe h_g = sqrt(3.91²-3²/4) = 3.61

Damit die Fläche 1/2*3*3.61 und das 12 mal (6 oben und 6 unten) + 6 Rechtecke 3*5

zusammen zählen - fertig

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Das sieht doch sehr nach Pythagoras aus. 

du solltest die Länge "edgeAN" und "edgeKL" bzw. "AN" und "KL" in der Skizze in einem rechtwinkligen Dreieck sehen.

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So, jetzt stimmt es.

$$O{}_{Gesamt}=(3*3^2*\sqrt{3}+(6*3*5))+((\frac{1}{2}*3*3.61)*12)-2*(6*\frac{3^2}{4}*\sqrt[]{3})=154.98cm^2$$

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Yep, jetzt stimmen wir überein,

bis auf das Wurzel 3 Zeugs. Warum addierst es erst vorne, wenn Du es hinten wieder abziehst?

Danke für die Best of...

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Ja, die könnte ich weglassen.

LG

Answer 2

Hallo Anton,

ich kenne auch nur die Formeln, die du auch hast.

Also:

Volumen der oberen und unteren Pyramide Pyramide

$$V=2\cdot (\frac{{a}^{2}}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot h)\\V=2\cdot (\frac{{(3cm)}^{2}}{2}\cdot \sqrt{3} \cdot 2,5cm=\frac{45\cdot \sqrt{3}}{2}c{m}^{3}$$

Volumen des Prismas

$$V=\frac{3\cdot {a}^{2}}{2}\cdot \sqrt{3} \cdot h\\V=\frac{3\cdot {3cm}^{2}}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot 5cm\approx 116,91c{m}^{3}$$Das Ergebnis gab es leider nicht als Bruch.

$${V}_{Gesamt}\approx 116,91{cm}^{3}+\frac{45\cdot \sqrt{3}}{2}{cm}^{3}\approx 155,885{cm}^{3}$$

Also habe ich das gleiche Ergebnis wie du.

Für die Oberfläche habe ich es so ausgerechnet.

$$O=2\cdot(\frac{3\cdot a}{2}\cdot(a\cdot\sqrt{3}+2\cdot {h}_{s}))\\{h}_{s}=\sqrt{{h}^{2}+{\frac{a}{2}}^{2}}\\{h}_{s}=\sqrt{{(2,5cm)}^{2}+{1,5cm}^{2}}=\frac{\sqrt{34}}{2}\approx 2,92cm\\O=2\cdot (\frac{3\cdot 3cm}{2}\cdot (3cm\cdot\sqrt{3}+2\cdot\frac{\sqrt{34}}{2}cm))\\O=9\cdot \sqrt{34}+27\cdot \sqrt{3}cm^2\approx 99,24c{m}^{2}$$

Oberfläche des Prismas:

$$O=3\cdot{a}^{2}\cdot \sqrt{3}+(6\cdot a \cdot h)\\O=3\cdot (3cm)^2\cdot \sqrt{3}+(6\cdot 3cm\cdot 2,5cm)=90+27\cdot \sqrt{3}cm^2 \approx136,77cm^2$$

Jetzt die Gesamte Oberfläche.

$${O}_{Gesamt}\approx 99,24cm^2+136,77cm^2\approx 236,01^2$$

Warum haben wir andere Ergebnisse?

Ich meine der Fehler ist, dass du bei der Oberfläche der Pyramide statt (3*a)/(2)=> (3*3cm)/(2) , (3*2,5cm)/(2) gerechnet hast.

Das schließt natürlich nicht aus, dass ich auch irgendwelche Fehler habe.

EDIT: Ich habe vergessen, die Grundflächen der Pyramiden und die des Prismas abzuziehen!!!

Gruß 

Smitty

Comments

"Ich meine der Fehler ist, dass du bei der Oberfläche der Pyramide statt (3*a)/(2)=> (3*3cm)/(2) , (3*2,5cm)/(2) gerechnet hast."

Ja, das ist echt ein Fehler!

Sonst hast du es ja genauso wie ich gerechnet!

Der Schroedelverlag hat natürlich in den Schulbüchern keine Lösungen :( oder nur die Lehrer...

Ich warte nochmal ein bisschen, vielleicht hat jemand ja noch eine Idee.

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Grundflächen abziehen vom Prisma?

G=(6*(a²/4)*√3)

G=2*(6*(3²/4)*√3)

G=27*√3 ≈ 46,77cm

Ogesamt=(99,24+136,77)-44.67=191.34cm³

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Die Grundseiten des Prismas sind auch die Grundseiten der Pyramiden....

GeoGebra sagt was anderes!

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Was soll denn hs sein...

Ein Pyramiden-Dreieck besteht aus s Seitenkante , h_g Höhe,  g Grundseite = a

s =sqrt(h²+a²) = 3.91

h_g=sqrt(s²-a²/4) = 3.61

Rest siehe oben

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Die Grundseiten vom Prisma und den Pyramiden abziehen. Aber ich habe gerade keine Zeit um das zu machen. Sorry ;(

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Hallo @wächter,

Hs ist die Höhe einer Seite: