varianz, erwartungswert bestimmen unendlich langen leiter

Question

die Aufgabe lautet:

Die Sprossen einer in beiden Richtungen unendlichen Leiter seien mit den ganzen Zahlen nummeriert.
Ein Frosch sitze anfangs auf Sprosse 0. Nun steigt er an allen Tagen, an denen er gut
gelaunt ist, eine Sprosse hoch, an den anderen Tagen eine Sprosse hinab (am Tag 1 bewegt er
sich bereits).
Die Laune des Froschs am Tag n werde durch unabhängige Zufallsvariablen X_n ∼ Bin(1, p)
beschrieben: X_n = 1 bedeute gute Laune.
Geben Sie an, wie sich aus den X_n die folgenden Zufallsvariablen ergeben und berechnen Sie
jeweils Erwartungswert und Varianz:
a) Y_n mit Werten ±1 gebe die Höhenveränderung im Tag n an.
b) Z_n mit Werten aus ℤ gebe die Sprosse an, die er am Tag n erreicht.
Bestimmen Sie α_n > 0 und β_n so, dass U_n := α_n(Z_n − β_n) Erwartungswert 0 und Varianz
1 hat.

Meine Überlegung:

a) Der Erwartungswert in einer Binomialverteilung ist immer E(X) = n*p

Da hier die Wahrscheinlichkeit p entweder geht hoch oder geht runter ist, ist p=1/2.

Daraus folgt: E(X) = 1/2 n

Varianz: V= n*p*(1-p) = n*(1/2) *(1/2) = n/4

b) bisher noch keine Idee. Bitte um Ansatz.

:)

Answer 1

> Da hier die Wahrscheinlichkeit p entweder geht hoch oder geht runter ist, ist p=1/2.

Nach dieser Argumentation ist die Wahrscheinlichkeit, eine 5 zu würfeln, 1/2. Weil entweder würfelt man eine 5, oder nicht.

> Daraus folgt: E(X) = 1/2 n

In der Aufgabenstellung taucht die Zufallsvariable X nicht auf.

> X_n ∼ Bin(1, p)

X_n ist die Anzahl der Erfolge einer Bernouli-Kette der Länge 1 mit Erfolgswahrscheinlichkeit p.

X_n kann also die Werte 0 und 1 annehmen.

> Nun steigt er an allen Tagen, an denen er gut gelaunt ist, eine Sprosse hoch
> X_n = 1 bedeute gute Laune.
> Y_n mit Werten ±1 gebe die Höhenveränderung im Tag n an.

Also ist

(1)        Y_n = 2·X_n - 1

Laut Definition Erwartungswert ist

(2)        E(Y_n) = P(Y_n = -1) · (-1) + P(Y_n = 1) · 1,

weil die Zufallsvariable nur die Werte -1 und 1 annehmen kann.

Y_n = 1 ⇔ X_n = 1 (siehe Gleichung (1)), also

        P(Y_n = 1) = P(X_n = 1) = p.

Dementsprechend muss P(Y_n = -1) = 1-p sein (Gegenwahrscheinlichkeit). Setze in Gleichung (2) ein.

Varianz wird ähnlich berechnet.

> Z_n mit Werten aus ℤ gebe die Sprosse an, die er am Tag n erreicht.

Die kann man erecnen indem man alle bisherigen Y_i addiert:

        Zn = Y₁ + Y₂ + ... + Y_n = 2 · (X₁ + X₂ + ... + X_n) - n.

Comments

Wie kommst du auf Gleichung 1?

Also ist der Erwartungswert aus a)

E(Yn) =(Yn = -1) · (-1) + P(Yn = 1) · 1 = -(1-p)+p = -1+p+p =2p-1

Für die Varianz aus a)

V = P(Y_n= 1) * (1-(2p-1))^2 + P(Y_n=-1) *(-1-(2p-1))^2= p*(-2p+2)^2 + (1-p) (-2p)^2 = p*(4p^2 -6p+4) +4p^2 (1-p) = 4p^3 -6^p +4p +4p^2 -4p^3 = 4p^2 -2p

Passt das für die a?

---

> Wie kommst du auf Gleichung 1?

Ich habe die Regeln über den Zusammenhang zwischen X_n und Y_n in einen Mixer getan, auf Stufe 1 ca. 15 Sekunden eingeschaltete und fertig war die Gleichung.

Im einzelnen habe ich folgende Zutaten verwendet:

• Es muss Y_n = 1 genau dann sein, wenn X_n = 1 ist (weil der Frosch genau dann nach oben geht, wenn er gut gelaunt ist).
• Es muss Y_n = -1 genau dann sein, wenn X_n = 0 ist (weil der Frosch genau dann nach unten geht, wenn er schlecht gelaunt ist).

> E(Yn) = ...  =2p-1

Richtig

> p*(4p² -6p+4)

Das müssten

        p*(4p² -8p+4)

sein. Bis dahin war es richtig.

---

für die a)

Varianz: -4p^2 + 4p

für die b)

Erwartungswert: 

E(Zn) = E(Y1) + E(Y2) +...+ E(Yn) =  n * (2p-1)

Varianz: Da Zufallsvariablen stochastisch unabhängig sind

V(Z_n) = V(Y1) * V(Y2)...*V(Yn) =(-4p^2 + 4p)^n

Passt das so?

Möchte mich bereits an dieser Stelle bereits für deine Hilfe und deine guten Erklärungen bedanken:)

---

> V(Z_n) = V(Y1) * V(Y2)...*V(Yn)

Angenommen Y₁ hat die Varianz 1 und Y₂ hat die Varianz 0. Dann hätte nach deiner Rechnung Y₁ + Y₂ die Varianz 0.

Ich bin mir relativ sicher, die Varianz von Zn muss man irgendwie anders berechnen.