Frage zu Eigenvektoren von Matrizen

Question

Ich verstehe nicht, was es für den Eigenvektor bedeutet, wenn ein Eigenwert die algebraische Vielfachheit 2 hat. Heißt das dann, dass es zu dem Eigenwert 2 Eigenvektoren gibt? Aber wie berechnet man diese dann? Dann müssten beide ja zu der gleichen Matrix gehören. Als Beispiel habe ich hier folgende Matrix.

-7 -4 4

-4 8 1

4 1 8

Ich hatte schon eine Frage zu der gleichen Matrix gestellt und habe von mathef die folgende Antwort bekommen.

"Ich bekomme (1;0;4)T  und ( -1 ; 4 ; 0 )T  zum Eigenwert 9  und  (4,1,-1)T  für EW -9"

Wie kommt man denn auf 2 Eigenvektoren mit nur einem Eigenwert?

Comments

EDIT: Bitte in der Regel bei der Originalantwort nachfragen. 

Kannst du denn einen der beiden Eigenvektoren zum EW 9 berechnen? 

Answer 1

"Wie kommt man denn auf 2 Eigenvektoren mit nur einem Eigenwert?" 

Du bist doch drauf gekommen oder ist das nur eine abgeschriebene Lösung.

Eigenvektor zum Eigenwert 9
[-7 - (9), -4, 4; -4, 8 - (9), 1; 4, 1, 8 - (9)] = [-16, -4, 4; -4, -1, 1; 4, 1, -1]
[-16, -4, 4; -4, -1, 1; 4, 1, -1]·[x; y; z] = [0; 0; 0] --> x = 1/4·(z - y) --> für y = 0 und z = 4 also [1, 0, 4] und für y = -4 und z = 0 also [1, -4, 0]

Comments

[-16, -4, 4; -4, -1, 1; 4, 1, -1]·[x; y; z] = [0; 0; 0]

bis zu diesem schritt verstehe ich es, aber wie kommst du danach auf die gleichung x = 1/4*(z-y)?

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- 16·x - 4·y + 4·z = 0
- 4·x - y + z = 0
4·x + y - z = 0

I ; II + III

- 16·x - 4·y + 4·z = 0
4·x + y - z = 0

I + 4 * II

4·x + y - z = 0
4·x = z - y
x = 1/4·(z - y)

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habs jetzt verstanden danke für die antwort