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Stimmt das so?


$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { 2 }^{ n } }{ { (4+n) }^{ n } } \quad = } \quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { (\frac { { 2 } }{ { 4+n) } } ) }^{ n } } \\ \\ Es\quad folgt\quad mit\quad dem\quad Wurzelkriterium:\left| \frac { { 2 } }{ { 4+n) } }  \right| \\ Grenzwert:\\ lim\quad n->\quad \infty \quad \frac { { 2 } }{ { 4+n) } } =0\\ Da\quad 0<1\quad folgt\quad nach\quad dem\quad Wurzelkriterium\quad die\quad absolute\quad Konvergenz.$$


P.S Wie bekommt man bei Latex, bzw. dem Formeleditor den Ausdruck für Limes hin?

von

\lim_{a \to b} x 

 vorn und hinten je zweimal $:

$$\lim_{a \to b} x$$

> Es folgt mit dem Wurzelkriterium: \(\left|\frac{2}{4+n}\right|\)

Das kannst Du unmoeglich so hinschreiben. Folgerungen sind Aussagen und \(\left|\frac{2}{4+n}\right|\) ist ganz sicher keine Aussage. Versuche zur Uebung mal, Deine Loesung anstaendig zu Papier zu bringen. In der Formulierung von oben darfst Du mit Punktabzug rechnen.

2 Antworten

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Deine Argumentation passt.

In Latex mach ich immer $lim_{n \rightarrow \infty}$

von
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Hi,

du denks vollkommen richtig. Allerdings musst du das vielleicht etwas "sauberer" aufschreiben.

Umstellen der Ausgangsreihe (wie bei dir):

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { 2 }^{ n } }{ { \left( 4+n \right)  }^{ n } }  } =\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 2 }{ 4+n }  \right)  }^{ n } } $$

Anwendung des Wurzelkriteriums aus Vorlesung oder anderer Quelle:

$$ \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sqrt [ n ]{ \left| { a }_{ n } \right| }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sqrt [ n ]{ \left| { \left( \frac { 2 }{ 4+n }  \right)  }^{ n } \right| }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 2 }{ 4+n } = } \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \frac { 2 }{ n }  }{ \frac { 4 }{ n } +\frac { n }{ n }  }  } =0 $$

$$ \lim _{n\to\infty} \sqrt[n\:]{\left| { a }_{ n } \right|} \begin{cases} < 1 & konvergiert \\ = 1 & keine Aussage \\ > 1 & divergiert \end{cases} $$

Antwort:

Da 0 < 1 folgt aus dem W. Kriterium eine absolute Konvergenz


Für die Formelsammlung:

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n } } $$

$$ \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sqrt [ n ]{ \left| { a }_{ n } \right| }  } $$

$$ \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sqrt [ n ]{ \left| { a }_{ n } \right| }  } <\quad 1\rightarrow konvergiert $$

$$ \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sqrt [ n ]{ \left| { a }_{ n } \right| }  } >\quad 1\rightarrow divergiert $$

$$ \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sqrt [ n ]{ \left| { a }_{ n } \right| }  } =\quad 1\rightarrow keine\quad Aussage $$

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