Vollständige Induktion erklären (Folgen)

Question

Ich verstehe es einfach nicht. Ich weiß aber, dass die vollständige Induktion hier eine Rolle spielt.

Aufgabenstellung (das Zeichen _ bedeutet tief gestellt):

Ein Patient mit 39,5 °C Fieber erhält ein fiebersenkendes Mittel, das die Temperatur stündlich um 40 % der Differenz zur normalen Körpertemperatur von v = 36,8 °C erniedrigt.

Nach jeweils einer vollen Stunde misst der Patient seine Temperatur. Diese Werte können näherungsweise durch die Folge mit der Vorschrift t_(n+1)=0,6× t_n+0,4× v ;n∈N und t_0=39,5 beschrieben werden.

Dabei bedeutet t_n die Körpertemperatur (in °C) des Patienten n Stunden nach Einnahme des Medikamentes.

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass sich die Körpertemperatur t_n durch die explizite Vorschrift t_n=0,6 ×(t_0-v)+v berechnen lässt

Answer 1

Der Ausdruck $$t_{n+1} = 0,6 t_n + 0,4 v$$ ist eine lineare Interpolation zwischen \(t_n\) und \(v\) und genau das was oben beschrieben ist. Die Vorschrift soll sicher heißen: $$t_n = 0,6^n (t_0 - v) + v$$ (Du hast das \(^n\) vergessen)

Induktionsanfang sollte kein Problem sein; setzte \(n=1\) ein und die Vorschrift für die Folge kommt heraus. Wenn Du jetzt den Schritt von \(n\) nach \(n+1\) machst: $$\begin{aligned} t_{n+1} &= 0,6^{n+1} (t_0 - v) + v \\&= 0,6^{n} (t_0 - v) \cdot 0,6 + v \\&= \left( 0,6^{n} (t_0 - v) + v - v \right) \cdot 0,6 + v \\&= \left( 0,6^{n} (t_0 - v) + v \right) \cdot 0,6 - v \cdot 0,6 + v \\&= t_n \cdot 0,6 + 0,4 v\end{aligned}$$ q.e.d.

Gruß Werner

Comments

Okay also der Induktionsanfang war ganz einfach.

Ich habe wie du gesagt hast für n=1 eingesetzt und t₁=38,42 ist richtig.

Kommt jetzt der Induktionsschritt? Und was muss gelten damit ich weiter rechnen kann?

Was sagt mir das Ergebnis ?

Danke für deine Mühe.

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@132221: Dein Kommentar erzeugt bei mir den Eindruck, dass Du was grundsätzliches nicht verstanden hast!? Um was geht es?

Es existiert ein Zusammenhang, eine Temperatur \(t_{n+1}\) auf Basis der Temperatur \(t_n\) vor einer Stunde zu berechnen. 

$$t_{n+1} = 0,6t_n + 0,4v$$

Hier ist \(t_{n+1}=f(t_n)\). Das ist gegeben, aber umständlich, wenn man die Temperatur nach 48Stunden berechnen möchte, müsste man dies 48 Mal berechnen.

Nun wird angenommen, dass man die Temperatur zu jeder Zeit nach \(n\)Stunden direkt nach einer Formel \(t_n=g(n)\) berechnen kann mit

$$t_n = 0,6^n (t_0 - v) + v$$

Dies ist aber zunächst nur eine Annahem, was nun bewiesen werden soll. Stimmt das überhaupt? Dazu zeigt man zuerst (Induktionsanfang), dass die Temperatur nach einer Stunde korrekt berechnen wird!

Du schreibst: "... n=1 eingesetzt und t1=38,42 ist richtig." das sollte nicht nur für die oben angegebenen Zahlenwerte funktionieren, sondern für jeden Wert von \(t_0\). Der korrekte Induktionsanfang wäre demnach (nach der Formel \(t_1=g(1)\)):

$$t_1 = 0,6^1 (t_0 - v) + v = 0,6t_0 - 0,6v + v =0,6t_0 + 0,4v$$

dies stimmt genau mit der Formel für die Folge \(t_1=f(t_0)\) (s.o.) überein. D.h. die Formel \(t_n=g(n)\) ist für \(n=1\) richtig.

"Kommt jetzt der Induktionsschritt?" Ja - der steht oben in meiner Antwort. Dort zeige ich, dass unter der Annahme dass \(t_n=g(n)\) ok ist, auch \(t_{n+1}=g(n+1)\) richtig ist. D.h. wenn es für \(t_1=g(1)\) stimmt (s. Induktionsanfang), so stimmt es auch für \(t_2=g(2)\). Und wenn es für \(t_2=g(2)\) passt, so passt es auch für \(t_3=g(3)\) usw. ich habe oben gezeigt, dass

$$t_{n+1} = 0,6^{n+1}(t_0-v) + v$$

korrekt ist, wenn \(t_{n} = 0,6^{n}(t_0-v) + v\) korrekt ist. 

"Was sagt mir das Ergebnis ?" Dass der Beweis durch vollständige Induktion erbracht ist, bzw. dass die Formel \(t_n=g(n)= 0,6^n (t_0 - v) + v\) den Sachverhalt richtig wieder gibt.

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Ich habe im Internet gelesen, dass das zum Unistoff gehört und wollte mich selbst nur testen(Die Aufgabe habe ich aus einem Buch).

Ich habe nun das ganze Prinzip verstanden.

Nur kenne ich die ganzen Rechenwege nicht, die du bei der Induktionsbehauptung gemacht hast.

tn+1=  0,6n+1(t0−v)+v

=0,6n(t0−v)⋅0,6+v

=0,6n(t0−v)+v-v)⋅0,6+v

=(0,6n(t0−v)+v)⋅0,6−v⋅0,6+v

=tn⋅0,6+0,4v

Fragen die ich mir stelle sind z.B :

Warum verschwindet die +1 bei der zweiten Gleichung?

Wo kommt die 0,6 her ?

Wie wird aus 0,6n(t0−v) -> 0,6n(t0−v)+v-v)?

Wie kommst du auf 0,4 am Ende?

Erkläre es bitte so als würdest du es einem 5.Klässler erklären :3.

Frauen haben es nicht so mit Mathe.

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Du fragtest: "Warum verschwindet die +1 bei der zweiten Gleichung? Wo kommt die 0,6 her ?" das hat miteinander zu tun! Es ist

$$\begin{aligned} 0,6^{n+1} (t_0 - v)&= \underbrace{0,6 \cdot 0,6 \cdot ... \cdot 0,6}_{n+1} (t_0 - v) \\&= \underbrace{0,6 \cdot 0,6 \cdot ... \cdot 0,6}_{n} \cdot \underbrace{0,6}_1 (t_0 - v) \\&= 0,6^n \cdot 0,6 (t_0 - v) \\&= 0,6^n (t_0 - v) \cdot 0,6\end{aligned} $$

"Wie wird aus \(0,6^n(t0−v)\) -> \(0,6^n(t0−v)+v-v\)?" Es steht Dir frei, überall eine 0 zu addieren; oder eben irgendeinen Wert \(v\) den Du gleich wieder abziehst: \(+v-v=0\)

"Wie kommst du auf 0,4 am Ende?" auch nur mit plus und minus ... $$\begin{aligned} \space &= \space ... -0,6v + v \\&= \space ... -0,6v+ 1v \\&= \space ... +(-0,6+1)v \\&= \space ... +(1-0,6)v \\&= \space ...+0,4v \end{aligned}$$

"Erkläre es bitte so als würdest du es einem 5.Klässler erklären" ich hoffe, das ist mir gelungen. Sonst frage einfach nochmal nach.

"Frauen haben es nicht so mit Mathe" Diese Einstellung finde ich bescheuert und demotivierend! Ich kenne genug Frauen, die richtig gut in Mathe sind. Die Firma Lego hat jetzt einige gewürdigt. Z.B. Margaret Hamilton eine wirklich gute Mathematikerin hat in den 60'ern bereits wegweisende Ideen zum Programmieren von Computern gehabt. Auf Basis von Mathematik.

Die Liste auf Wikipedia ist auch nicht so kurz.

Ich finde es beschämend wenn sich jemand damit raus redet - "ich war auch schlecht in Mathe" - niemand würde sagen "Lesen und Schreiben war noch nie mein Ding"! Ich habe genug Leuten Nachhilfe gegeben; Begabten und weniger Begabten - aber das bisschen Algebra und Terme Umformen (wie oben) das kann wirklich jeder lernen, wenn er/sie nur will!

Mein Filmtipp für Dich: Unerkannte Heldinnen.

Gruß Werner