Im letzten Artikel haben wir uns mit den Extrempunkten beschäftigt. In diesem Artikel geht es um Wendepunkte und Sattelpunkte. Es wird sich hier auf die Schulmathematik beziehen.
Wichtig ist, dass ein Sattelpunkt kein Extrempunkt ist, sondern ein spezieller Wendepunkt. Um einen Wendepunkt zu erklären zeige ich euch erst einmal einen Graphen, damit ihr euch etwas darunter vorstellen könnt. Geben werde ich euch zwei Funktionen.
~plot~ 1/9*x^4 - 4/9*x^3 + 3;-3x^3+6x+1 ~plot~
Zuerst betrachten wir die rote Funktion. Man muss sich die Funktion, umgangssprachlich, wie eine Straße vorstellen und ihr sitzt jetzt in einem Auto welches aus dem negativen x-Bereich kommt und in den positiven verschwindet. Wenn ihr jetzt "fahrt" dann lenkt ihr erstmal immer link herum, bis zu dem Punkt W1(0|1). Dort hat sich das Krümmungsverhalten verändert, nun "fahrt" ihr rechts herum. Ein anderer Fakt über einen Wendepunkt ist, dass dort die Krümmung am niedrigsten ist, nämlich Null.
Die blaue Funktion ist ein Sonderfall. Ich verdecke die Lösung erstmal und ihr könnt, falls ihr wollte, das selber versuchen.
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Der Sonderfall ist, dass dort ein Sattelpunkt vorhanden ist. Dies ist ein Sonderfall der Wendepunkte.
Das Krümmungsverhalten ändert sich dort nicht, denn die Monotonie bleibt gleich, deswegen gilt dieser Punkt auch nicht als Extrempunkt.
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Rechnerisch
So.. jetzt müssen wir die Punkte noch ausrechnen.
Zuerst die ganz "normalen" Wendepunkte.
Zuerst braucht man wieder eine notwendige Bedingung: Es muss erfüllt sein, dass f''(x)=0 gilt.
Die hinreichende Bedingung ist f'''(x)≠0.
Wenn f'''(xw)<0 Links-rechts-Wendepunkt, das heißt, dass die Kurve erst nach links gekrümmt ist und nach dem Wendepunkt nach rechts. Wenn f'''(x)>0 Rechts-link-Wendepunkt.
Wenn jetzt die Aufgabe ist, dass ihr überprüfen sollt, ob ein Sattelpunkt vorliegt müsst ihr xw nochmal in die 1.Ableitung einsetzten. Wenn dort Null rauskommt, dann ist dort ein Sattelpunkt. => f´(xw)=0 => Sattelpunkt.
Ich rechne es am besten einmal an dem oben genannten Beispiel vor.
$$f(x)=-3x^3+6x+1\\f'(x)=-9x^2+6\\f''(x)=-18x\\f'''(x)=-18\\\text{notwendige Bedingung}\\f''(x)=0\\-18x=0\\x=0\\\text{hinreichende Bedingung}\\f'''({x}_{w})\neq 0\\f'''(0)=-18<0\ \text{Links-rechts-Wendepunkt}$$
Eine andere Methode ist das Vorzeichenwechselkriterium: Das Prinzip habe ich ja schon im letzten Artikel erklärt. (https://www.mathelounge.de/519905/alles-rund-die-ableitung-wie-bilde-ich-diese-mache-damit-teil). Dies machen wir nun, statt mit der 1.Ableitung, jetzt mit der zweiten Ableitung. Wenn ein VZW von "-" nach "+" vorhanden ist, dann liegt ein Rechts-links-Wendepunkt vor, von "+" nach "-" natürlich ein Links-recht-Wendepunkt.
Für das Bespiel von oben:
$$f(x)=-3x^3+6x+1\\f'(x)=-9x^2+6\\f''(x)=-18x\\\text{notwendige Bedingung}\\f''(x)=0\\-18x=0\\x=0\\\text{hinreichende Bedingung}\\\text{Vorzeichenwechselkriterium}\\f''\left(-\frac{1}{10}\right)=\frac{9}{5}\quad VZ:"+"\\f''\left(\frac{1}{10}\right)=-\frac{9}{5} VZ:"-"\\[15pt]\quad VZW: "+" zu "-"=>\text{Link-rechts-Wendepunkt}\\f'(x)=-9x^3+6\\f'(0)=6\neq 0 =>\text{Kein Sattelpunkt}$$
Nun das nächste Beispiel.
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$$f(x)=\frac{1}{9}x^4-\frac{4}{9}x^3+3\\f'(x)=\frac{4}{9}x^3-\frac{4}{3}x^2\\f''(x)=\frac{4}{3}x^2-\frac{8}{3}x\\f'''(x)=\frac{8}{3}x-\frac{8}{3}\\\text{notwendige Bedingung}\\f''(x)=0\\\frac{4}{3}x^2-\frac{8}{3}x=0\\{x}_{1}=0\quad {x}_{2}=2\\\text{hinreichende Bedingung}\\f'''(x)\neq 0\\f'''(x)=\frac{8}{3}x-\frac{8}{3}\\f'''(0)=\frac{8}{3}\cdot 0-\frac{8}{3}=-\frac{8}{3} <0 => \text{Links-Rechts-Wendepunkt}\\f'''(2)=\frac{8}{3}\cdot 2-\frac{8}{3}=\frac{8}{3}>0\ =>\text{Rechts-links-Wendepunkt}\\\text{hinreichende Bedingung}\\\text{Vorzeichenwechselkriterium}\\f''\left(-\frac{1}{10}\right)=\frac{7}{25}>0\ VZ:"+"\\f''\left(\frac{1}{10}\right) >0=-\frac{19}{75}<0 \ VZ:"-"\\VZW:"+" zu "-" =>\text{Links-rechts-Wendepunkt}\\[20pt] f''(-1,9)=-\frac{19}{75} <0\ VZ:"-"\\f''(2,1)=\frac{7}{25}>0\ VZ:"+"\\VZW; "-" zu "+" => \text{Rechts-links-Wendepunkt}\\\text{Schauen, ob es ein Sattelpunkt ist}\\f'(x)=\frac{4}{9}x^3-\frac{4}{3}x^2\\f'(0)=0\ => \text{Sattelpunkt}\\f'(2)=- \frac{16}{9}\neq 0 \text{Kein Sattelpunkt} $$
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Das war es auch schon wieder mit dem Thema. Ich hoffe der Artikel ist verständlich. Ich bitte um konstruktive Kritik. Vielleicht ein kleines Feedback zur Gestaltung.
Die Artikel Reihe "Alles rund um die Ableitung: Wie bilde ich diese und was mache ich damit?" ist erstmal vorbei, falls es noch Themen dazu gibt, die ich vergessen habe, könnt ihr die gerne mitteilen. Es werden dennoch andere Artikel erscheinen.
