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im letzten Artikel wurde gezeigt, wie man die Steigung an einer Stelle ausrechnet, und wie man die Tangente von diesem Punkt aufstellt. Außerdem habt ihr etwas über die Berechnung von dem Schnittwinkel zweier Funktionen erfahren. (https://www.mathelounge.de/517051/alles-rund-die-ableitung-wie-bilde-ich-diese-mache-damit-teil)

Wie angekündigt beschäftigen wir uns mit der Monotonie einer Funktion mithilfe der 1. Ableitung. Ein zweites Thema wird sein: Verhalten im Unendlichen. Passt gut zusammen.


Was heißt Monotonie einer Funktion?

Wenn man die Monotonie einer Funktion beschreibt, dann schaut man, wo die Funktion fällt (Steigung ist negativ) und wo sie Steigt (Steigung ist positiv). Man unterscheidet zwischen streng monoton fallend/steigend und monoton fallend/steigend (Später mehr).

Jetzt erstmal ein Graph, den wir dann analysieren. Zuerst schätze ich die Werte ungefähr ab, damit klar wird, was gemeint ist und dann werdet ihr den Rechenweg erfahren.

~plot~ 1/3x^3-2x^2+3x ~plot~

Erst die grobe Abschätzung:

Zuerst kommt steigt der Graph bis 1 dann fällt er bis 3 und dann steigt er wieder.

Wie rechne ich das aus?

Man muss f´(x)= 0 setzen. Ihr seht auf dem Graphen, dass die Steigung beim Wechsel, die Steigung 0 hat. Also suchen wir diese Stelle mithilfe der 1. Ableitung, da wir ja wissen, dass diese uns die Steigung gibt. Danach muss man zwischen den Nullstellen schauen, ob die Steigung positiv oder negativ ist. Wenn negativ, dann fallend, wenn positiv, dann steigend.

Beim Aufschrieb muss man aufpassen, wie man die Intervalle dann schreibt, damit es streng monoton fallend/steigend oder

monoton fallend/steigend. Das wird aber am Beispiel noch klar.

Am besten nehmen wir uns das Beispiel von oben.

Nochmal der Graph, mit dem Ableitungsgraphen.

~plot~ 1/3x^3-2x^2+3x;x^2-4x+3 ~plot~

Dann rechnen wir es einfach mal.

Step-by-Step Anleitung:

1. Schritt: f´(x) bilden

2. Schritt: f´(x)=0

3. Schritt: Steigung aus Punkt aus den Intervallen zwischen den Nullstellen berechnen und schlussfolgern, ob steigt oder fällt

4. Schritt: Intervalle, je nach Aufgabenstellung, aufschreiben.

.

1.Schritt

$$f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x\\f´(x)=x^2-4x+3$$

2.Schritt

$$ f´(x)= 0 \\ x^2-4x+3=0 \\ {x}_{1}=1 \\ {x}_{2}=3 $$

3. Schritt Jetzt die Steigung eines Punktes zwischen den Nullstellen ausrechnen.

  1. vor x1=1 => Stelle  zwischen 1 und "-unendlich" =>wir rechnen es für x=0 aus.   $$\quad f´(0)=3=> Es\ steigt $$

  2. x2=3 Stelle  zwischen 1 und 3 => wir rechnen es für x=2 aus $$\quad f´(2)=-1=> Es\ fällt$$

  3. Stelle zwischen x2 und unendlich=> wir rechnen es für x=4 aus $$\quad f´(4)=3=> Es\ steigt$$

4. Schritt Ergebnisse aufschreiben.

Wenn die Aufgabenstellung sei: Zeige wann die Funktion monoton fällt, bzw. steigt, dann kann man die Punkte, wo die Steigung 0 ist mit in das Intervall reinnehmen. Dies wird klar, wenn man eckige Klammern um das Intervalle macht. Eine Ausnahme ist "unendlich", da dies keine Zahl ist. Dort werden normale Klammern benutzt, wie auch, wenn man zeigen muss, wo die Funktion streng monoton fällt, bzw. steigt

Monoton fallend

$${I}_{1}=[1|3]$$

Monoton steigend

$${I}_{2}=(-\infty|1]\\{I}_{3}=[3|\infty)$$

Für Streng Monoton fallend/steigend muss man nur die Klammern etwas austauschen. Nämlich die eckigen, da die "runden" aussagen, dass man die Zahl nicht ins Intervall mit reinnimmt.

Streng Monoton fallend
$${I}_{1}=(1|3)$$

Streng Monoton steigend

$${I}_{2}=(-\infty|1)\\{I}_{3}=(3|\infty)$$

Das wars zu dem Thema. ok... es gibt auch noch eine zweite Möglichkeit mit der 2. Ableitung, aber das ähnelt dem hier sehr. Falls jemand das andere auch wissen möchte, kann diese Person sich kurz die "Step-byStep"-Anleitung anschauen und wird es wahrscheinlich verstehen.


Im nächsten Artikel befassen wir uns endlich mit den lok. Extrempunkten (Hoch-/Tiefpunkte)

Ich hoffe, dass ich das Thema verständlich erklärt habe. Über Konstruktive Kritik, aber auch Fragen in den Kommentaren,würde ich mich freuen.

Das Mitglied hat durch den Artikel 50 Bonuspunkte erhalten. Schreib auch du einen Artikel.
geschlossen: Mathe-Artikel
von Gast jc2144
von 5,3 k

Ich nutze auch die Möglichkeit die
Monotonie zu berechnen mit

f ´( x ) = 0

f ´( x ) > 0
f ´( x ) = x^2 - 4x + 3
x^2 - 4x + 3 > 0
x = -∞ .. 1
x = 3 .. ∞

und
f ´( x ) < 0

Jetzt, wo die Methode erwähnst, fällt die mir auch wieder ein. Der Spruch "viele Wege führen nach Rom" gilt also auch hier :)

Smitty, du hast wieder einen guten
Artikel geschrieben.
Vorausgreifend auf deinen Beitrag zu
Extrempunkten.
Ich weiß nicht was du zur Charakterisierung
eines Extrempunktes verwenden willst
- konvex / konkav
oder
- was ich bevorzuge :
Linkskrümmung oder Rechtskrümmung.

Ich finde die Links- oder Rechtskrümmung
sehr anschaulich.
Du fährst den Graph von links nach rechts
ab ( wie eine Straße )
Weicht die Straße bei einem  Extrempunkt
von der Geraden nach links ab  ( Krümmung
positiver Wert ) ist es  ein Tiefpunkt / Links
krümmung.
Umgekehrt bei einem positiver Wert ein Hochpunkt / negativer Wert mit
Rechtskrümmung.

Also, zum Thema Extrempunkte wollte ich Hoch/Tiefpunkte mit einbringen und diese einmal mathematisch erklären, sprich Steigung gleich Null und als anschauliches Beispiel, dass ein Auto in einem Gebirge ist und in einem Tal beziehungsweise auf einem Gipfel ist. Dein Beispiel würde ich für Wendepunkte benutzen.

Nun meine Frage. Gehören Wendepunkte mit zu Extrempunkten. Wenn nein, dann mache ich dazu einen Artikel, aber wenn  nicht. Soll ich diese dann in einem anderen Artikel erwähnen. Dann mit den Sattelpunkten.

Und ich würde vorschlagen, dass ich die Begriff konvex und konkav mit einbringe.

Vielen Dank für deinen wirklich sehr hilfreichen Kommentar

Ist die erste Ableitung gleich 0 spreche ich
von " einem Punkt mit waagerechter Tangente "

Dies kann ein
- Hochpunkt sein : die Steigung wechselt
von plus nach minus
- Tiefpunkt sein : die Steigung wechselt
von minus nach plus
- Sattelpunkt sein : die Steigung vorher /
nacher plus/plus oder minus/minus

In einem Sattelpunkt ist die Krümmung null
während die Krümmung in den Extrempunkten
die Krümmung konkav oder konvex ist.

In einem Wendepunkt ist die Krümmung
ebensfalls null ( siehe dein eigenes Beispiel
bei x = 2 ) aber die Steigung ist ungleich null.

  Sattelpunkt : Steigung und Krümmung gleich
null.
  Wendepunkt : Krümmung gleich null.

Das ist mir durchaus bewusst. Trotzdem Danke für die gute Erklärung.

Also sollte ich deiner Meinung nach Sattel-/Hoch- und Tiefpunkte in einem Artikel schreiben?

Ja.
Mit der ersten Ableitung können

Hoch-, Tief-, Sattelpunkte und Monotonie-
bereiche

ermittelt werden.

Gut, soll ich dann zu dem VZW-Kriterium auch die Methode mit der 2. Ableitung mit reinbringen oder dafür einen neuen Artikel? Man könnte das mit der 2. Ableitung schön graphisch darstellen

Einen Artikel über die 2.Ableitung
willst du ja schreiben.
Deine Grafik würde ich mit
Funktionskurve und eingefügter
2.Ableitungskurve verwenden

Hinweis : Ein Wendungpunkt ist
ein Stelle mit Krümmung null .
Er ist die Stelle mit der steilsten
Steigung bzw den steilsten Steigungsabfall.
( Ausnahme Sattelpunkt )
In der ersten Ableiltung ein Hoch- oder
Tiefpunkt.
In der 2.Ableitung null.

Die Wendetangente, weil allseits
beliebt, würde ich auch erwähnen.
Wie für alle Berührpunkte zweier Funktionen
gilt
f ( x ) = t ( x ) ( Koordinaten sind gleich )
f ´ ( ) = t ´( x ) ( Steigung ist gleich )

Du kannst die Wendetangente für dein
Beispiel ja einmal vorrechnen.

50 Bonuspunkte gut geschrieben. Glückwunsch.

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