+2 Daumen
523 Aufrufe

dieser Artikel dreht sich endlich um die lokalen Extrempunkt einer Funktion. Dafür gibt es, nach meinem Wissensstand, zwei Methoden.

Es werden die Extrempunkte Hoch-und Tiefpunkte, aber auch Sattelpunkte besprochen. Im nächsten Artikel geht es um Wende- und Sattelpunkte.

Wenn ihr wollte, kann ich auch einen "Handaufschrieb" mit anhängen, da manche Lehrer viel Wert darauf legen.

Was muss gegeben sein, damit ein Extrempunkt existiert?

Am besten gebe ich erstmal einen Graphen.

~plot~ x^4-2x^2+1 ~plot~

Ein potentieller Extrempunkt ist gegeben, wenn die Steigung an einem Punkt Null ist. Wir unterscheiden in diesem Artikel zwischen Hoch- und Tiefpunkten. Ein Hochpunkt ist gegeben, wenn es kurz vor dem Punkt steigt und nach dem Punkt fällt. Andersherum ist es beim Tiefpunkt. Was wichtig ist, ist, dass es hier um lokale Extrempunkte geht. Das heißt, dass ein Hochpunkt nicht der höchste Punkt der Funktion sein muss.

Wo sehen wir hier Extrempunkte?

Einmal bei P1(-1|0); P2(0|1) und P3(1|0)

Was sind das für Extrempunkte?

Ihr könnt selber überlegen, falls ihr Bock drauf habt und dann die Lösung anschauen.

[spoiler]

P1 ist ein Tiefpunkt

P2 ist ein Hochpunkt

P3 ist ein Tiefpunkt

[/spoiler]

Jetzt haben wir es graphisch ermittelt. Natürlich kann man - wie so gut wie alles in der Mathematik - auch berechnen. Dies sogar auf 2 Art und Weisen.

Die erste ist das Vorzeichenwechselkriterium.

Hierfür gibt es eine notwendige Bedingung und eine hinreichende Bedingung. Ich werde wieder eine Step-by-Step Anleitung geben.

1. Schritt: Notwendige Bedingung: f'(x) = 0, also die erste Ableitung Null setzten.

2. Schritt: Nun kommt das Vorzeichenwechselkirterium ins Spiel. Wenn wir jetzt bei x = 0 einen potentiellen Extrempunkt durch die Notwendige Bedingung gegeben haben, müssen wir einmal die Ableitung von "etwas weniger" als von der Stelle ausrechnen und einmal "etwas mehr". Ich habe es so gelernt, dass man einmal -1/10 nimmt und einmal +1/10 (Bei größeren Funktionen, wie z.B. 50x4+10x3-x2, sollte man ±1/100 nehmen). Dies wird an einem Beispiel wieder (hoffentlich) klar.

3. Schritt: Schauen ob ein Vorzeichenwechsel zwischen den beiden Werten stattgefunden hat. Wenn von positiver Steigung zu negativer oder von "+" nach "-", dann ist es ein Hochpunkt. Andersherum, also von "-" nach "+", dann ein Tiefpunkt. Wenn es keinen Vorzeichenwechsel gibt, dann ist dort ein Sattelpunkt. Wichtig ist, dass man zuerst die -1/10 und dann die 1/10 zur Beurteilung des Extrempunktes nimmt.

4. Schritt: Schauen, ob man die Formalien eingehalten hat. (Wichtig für Klausuren)

Dann rechne ich einfach mal das Beispiel vor.

$$f(x)=x^4-2x^2+1\\[20pt]\text{notwendige Bedingung}\\f'(x)=0\\f'(x)=4x^3-4x\\4x^3-4x=0\\4x\cdot(x^2-1)=0\\{x}_{1}=0\qquad {x}_{2}=1\qquad {x}_{3}=-1\\[30pt]\text{hinreichende Bedingung}\\[20pt]\text{Vorzeichenwechselkriterium der 1. Ableitung}\\\text{1. Fall }x=0\\f'\left(-\frac{1}{10}\right)=0,396>0\qquad  VZ: +\\f'\left(\frac{1}{10}\right)=-0,396<0\qquad \text{VZ: -}\\\text{VZW; "+" zu  "-";  Hochpunkt H(0|1)} $$

Die anderen könnt ihr alleine rechnen, wenn ihr wollt, oder direkt durchschauen.

[spoiler]

$$\text{2. Fall }x=1\\f‘\left(\frac{9}{10}\right)=-\frac{171}{250}<0\qquad \text{VZ:-}\\f‘\left(\frac{11}{10}\right)=\frac{231}{250}>0\qquad \text{VZ:+}\\\text{VZW;"-" zu "+"; Tiefpunkt T(1|0)}\\[25pt]\text{3. Fall }x=-1\\f‘\left(-\frac{11}{10}\right)=-\frac{231}{250} \text{VZ:-}\\f‘\left(-\frac{9}{10}\right)=\frac{171}{25}\ \text{VZ:+}\\\text{VZW;"-" zu "+"; Tiefpunkt T(-1|0)}$$

[/spoiler]

Wichtig ist, dass ihr das genau so aufschreibt. Besonders, was eure notwendige Bedingung ist und was eure hinreichende Bedingung ist. Sonst gibt es vielleicht Punktabzug.

Das war die erste Methode, mit der man auch Sattelpunkte -wie oben beschrieben- bestimmen kann. Mit der zweiten geht das nicht ganz so einfach, da man dafür noch die dritte Ableitung braucht. Das wird dann im nächsten Artikel zusammen mit den Wendepunkten erklärt.

Wieder eine Step-by-Step Anleitung.

1.Schritt: Notwendige Bedingung: f'(x)=0

2.Schritt: Hinreichende Bedingung: f''(x)≠0. Wenn f''(x)>0, dann ist Tiefpunkt, wenn f''(x)<0, dann ist ein Hochpunkt vorhanden.

3. Schritt: Formalien.

$$f(x)=x^4-2x^2+1\\\text{notwendige Bedingung}\\f'(x)=0\\f'(x)=4x^3-4x\\4x^3-4x=0\\{x}_{1}=0\qquad {x}_{2}=1\qquad {x}_{3}=-1\\[25pt]\text{hinreichende Bedingung}\\f''(x)\neq 0\\f''(x)=12x^2-4\\\text{1. Fall }x=0\\f''(0)=-4<0\qquad  \text{Hochpunkt H(0|1)}$$

Die anderen verstecke ich wieder, und ihr könnt sie, wenn ihr wollte berechnen.

[spoiler]

$$\text{2. Fall }x=1\\f''(1)=8>0\qquad \text{Tiefpunkt T(1|0)}\\[25pt]\text{3. Fall }x=-1\\f''(-1)=8>0\qquad \text{Tiefpunkt T(-1|0)}$$

[/spoiler]

So, das wars auch schon zu der 2. Methode. Diese geht deutlich schneller.

Wie schon angekündigt wird es im nächsten Artikel um Sattel- und Wendepunkte gehen.

Über konstruktive Kritik und Fehlererkennung freue ich mich sehr, sowie über Fragen.

Das Mitglied hat durch den Artikel 50 Bonuspunkte erhalten. Schreib auch du einen Artikel.
geschlossen: Mathe-Artikel
von Unknown
von 5,3 k

Ein-zwei gröbere Dinge die mir aufgefallen sind.


1. hinreichende Bedingung ist nicht erfüllt, wenn man nur f''(x) betrachtet.

Es muss auch die notwendige Bedingung (f'(x) = 0) hinzugezogen werden.

Siehe auch hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert#Hinreichende_Kriterien


2. Bei der ersten notwendigen Bedingung habe ich Dir die 4 mit ausgeklammert. Dann sieht man schneller, wie die Nullstellen lauten ;).


Grüße

2 Antworten

+1 Daumen

> Ein Extrempunkt ist gegeben, wenn die Steigung an einem Punkt Null ist.

Gegenbeispiel: f(x) = x3 hat Steigung Null im Punkt (0| 0), aber keinen Extrempunkt. Die Umgekehrte Aussage ist korrekt: Wenn ein Extrempunkt vorliegt, dann ist die Steigung an diesem Punkt Null. Es ist dann sozusagen notwendig, dass die Steigung Null ist.

> Ich habe es so gelernt, dass man einmal -1/10 nimmt und einmal +1/10. 

Gegenbeispiel: f(x) = 50x4 + 10x3 - x2. Dann ist f'(0) = 0 und f'(-1/10) = f'(1/10) = 3/10. Trotzdem hat f bei 0 einen Hochpunkt und keinen Sattelpunkt.

Weiteres Gegenbeispiel: g(x) := 200x6-x4 . Dann ist g'(0) = 0 und g''(0) = 0 (die zweite Ableitung vesagt hier also ebenfalls). Außerdem ist  g'(-1/10) = -1/125 und g'(1/10) = 1/125. Trotzdem gibt es bei x=0 einen Hochpunkt anstatt eines Tiefpunktes.

von 74 k 🚀

Beim ersten habe ich mich unglücklich ausgedrückt. Es muss heißen, wenn die Steigung Null ist, dann ist dort ein potentieller Extrempunkt.


Zum zweiten:

f(x)=50x^4+10x^3-x^2

f´(x)=200x^3+30x^2-2x

Bei solchen Funktionen muss man kleiner Bereiche wählen, da ich die Beispiele für eine Schule benutzt habe ist 1/10 ausreichend. So mit wähle ich hier 1/100. Hätte ich vielleicht im Artikel erwähnen sollen.

f´(-1/100)=57/2500

f´(1/100)=-21/1250

Somit ist dort ein Hochpunkt. H(0|0)

Noch eine kleine Sache zu: f´(-1/10) und f´(1/10) ist nicht gleich :). Das geht doch alleine schon wegen den Exponenten nicht, da du beim ersten Summanden einmal etwas positives und einmal etwas negatives herausbekommst.


3. Beispiel.

g(x)=200x^6-x^4

g´(x)=1200x^5-4x^3

g´´(x)=6000x^4-12x^3

Dort hast du deine Argument, bezüglich des VZW-Kriterium selber kaputt gemacht. Es ist VZW, nämlich von "-" nach "+".

Und zu der zweien Ableitung: Diese trifft auch nicht immer zu. Da hast du Recht. Deswegen nimmt man das VZW-Kriterium.

Was mich persönlich stört, mag vielleicht eine komische Ansicht sein, ist, dass du einfach Behauptungen aufstellst, die ja zum Teil auch richtig waren, aber keine Alternative bietest. (Konstruktive Kritik)


Smitty

> Bei solchen Funktionen muss man kleiner Bereiche wählen

Woran kann man denn erkennen, dass der Bereich klein genug ist?

> f´(-1/10) und f´(1/10) ist nicht gleich

f'(x) = 200x3+30x2-2x

f'(-1/10) = 200·(-1/10)3+30·(-1/10)2-2·(-1/10)

    = 200·(-1/1000)+30·(-1/100)+2/10

    = -200/1000 + 30/100 + 2/10

    = 3/10

f'(1/10) = 200·1/103+30·1/102-2/10

    = 200/1000 + 30/100 - 2/10

    = 3/10

> Es ist VZW, nämlich von "-" nach "+".

Es ist VZW von "+" nach "-", wie man sieht wenn man x = ± 1/100 einsetzt. Auch hier war 1/10 zu groß gewählt.

> aber keine Alternative bietest

Das war in der Tat nicht nett von mir.

Das VZW-Kriterium basiert auf dem Monotoniesatz und der Tatsache, dass eine stetige Funktion ihr Vorzeichen nur an Nullstellen ändern kann.

Be der Anwendung muss darauf geachtet werden, dass zwischen dem Kandidaten für den Extrempunkt und der Stelle die man für das VZW-Kriterium einsetzt keine weiteren Nullstellen der Ableitung liegen.

Da hast du Recht. Ich hatte einen Tippfehler im TR. Aber, da du überhaupt keine Verbesserung vorschlägst,und dass für mich dann keine konstruktive Kritik ist, werde ich dich jetzt ignorieren.

> Aber, da du überhaupt keine Verbesserung vorschlägst

Ich schreibe meine Beiträge stückchenweise und sende sie manchmal schon ab, bevor sie wirklich fertig sind. Ich glaube das sollte ich sein lassen.

Ok, wenn das so ist, widerrufe ich natürlich meine Anschuldigung und ich bedanke mich für die Erklärung. 

PS: Das geht über die Schulmathematik (10. Jahrgang) hinaus, oder?

Der Begriff Stetigkeit geht über die Schulmathematik hinaus, weil alle untersuchten Funktionen stetig sind.

Der Monotoniesatz wird oft auch nicht so bezeichnet. Er besagt, dass eine Funktion auf einem Intervall steigt, wenn die Ableitung auf diesem Intervall überall positiv ist.

Das Konzept, dass beim VZW-Kriterium keine Nullstellen der Ableitung übersprungen werden dürfen, ist aber Teil des Schulstoffes,.

0 Daumen

Falls eine Aufgabe lautet

Bestimme die Stellen mit waagerechter
Tangente und stelle die Art fest :
Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt.

f ( x ) = x^4 - 2x^2 + 1

Meine Vorgehensweise
f ´ ( x ) = 4 *x^3 - 4x

Stellen mit waagerechter Tangente berechnen
4 *x^3 - 4x = 0
x * ( 4x^2 - 4 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x1 = 0
und
4x^2 - 4 = 0
x2:=+1
und
x3 = -1

Bereiche mit positiver Steigung
4 *x^3 - 4x > 0
x^3 - x > 0
x * ( x^2 - 1 ) > 0
1.Fall plus mal plus
x > 0 und ( x^2 > 1 )
x^2 > 1  =>
x > 1 und x < -1
zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x > 0 ) und ( x > 1 )
x > 1
( x > 0 ) und ( x < -1 )
keine Schnittmenge
also : Steigung positiv x > 1

2.Fall minus mal minus
x < 0 und ( x^2 < 1 )
x^2 < 1  =>
-1 < x < 1
zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x < 0 ) und ( -1 < x < 1)
Steigung positiv
-1 < x < 0 ( Fall 2. )
und
x > 1 ( Fall 1. )

Dasselbe kann man auch für den
Monotoniebereich f ´( x ) < 0
durchführen ergibt sich aber auch als
Bereich zwischen den oben berechneten
Bereichen
-∞ .. -1 : fallend
-1 .. 0 :steigend
0..1 : fallend
1 .. +∞ : steigend

fallend - x-Stelle - steigend : Tiefpunkt
usw

Die Vorgehensweise ist vielleicht
ein bisschen langwierig, hat aber den
Vorteil : völlig exakt.

Mit der 2.Ableitung und der Krümmung
geht es schneller.

von 111 k 🚀

ich verstehe deine Vorgehensweise. Kann es sein, dass diese dem VZW ähnelt.

Und, was ich "zu  bemängeln" habe (ist nicht angreifend gemeint. Ich habe nur keine nettere Formulierung gefunden), ist, dass du die Antwort auf die Frage nicht hingeschrieben hast.

Wenn ich etwas zu deinen Beitragen hinschreibe
ist dies völlig sachlich.
Wenn du etwas zu meinen Beitragen hinschreibst
geschieht dies ja auch in Sachlichkeit.
Soweit ok.

------------------------------

dass du die Antwort auf die Frage nicht hingeschrieben hast.

Hier weiß ich nicht was du meinst.

Ich meine damit eine Formalie. Nämlich die explizite Antwort: ein Tiefpunkt T(x|y) ist vorhanden, oder wie auch immer man es dokumentieren möchte.

Welche oder wo steht die Frage ?

Bestimme die Stellen mit waagerechter
Tangente und stelle die Art fest :
Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt.

Das meine ich.

-∞ .. -1 : fallend
-1 .. 0 :steigend
0..1 : fallend
1 .. +∞ : steigend

fallend bis x = -1 - dann steigend : x = -1 Tiefpunkt
steigend bis x = 0 dann fallend : x = 0 Hochpunkt
fallend bis x = 1 dann steigend : x = 1 Tiefpunkt


So muss es sein :)

Hallo Smitty,

eine Nachricht von dir ist leider nirgendwo
zu finden / ist verschwunden

Ich möchte jetzt  nicht penetrant sein, aber bei meiner Lehrerin gäbe es immer noch nicht volle Punktzahl, da du nur die Stelle angegeben hast. (Das ist nicht böse gemeint und auch nicht provokant, falls es so rüber kommt)

Frage : bezog sich das auf diesen Strang ?

mfg Georg

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community