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Kann jemand mir dabei helfen ?



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EDIT: Markierung entfernt. Bitte Text nicht nur als Text eingeben. https://www.mathelounge.de/schreibregeln

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Du musst einfach nur die Gruppenaxiome prüfen:

1. O(n) ist abgeschlossen gegenüber der Matrixmultiplikation.

zeigt man so: Seien A,B orthogonale Matrizen.

Dann musst du zeigen:  A*B ist auch orthogonal, d.h. es muss gelten

(A*B) * (A*B)^T = E  (Einheitsmatrix) . Das gilt, weil 

(A*B) * (A*B)^T =    (beim Transponieren eines Produktes ändert sich die Reihenfolge ! )

 (A*B) * (B^T*A^T) =   ( Assoziativität ist ja vorausgesetzt.)

A* (B*B^T) * A^T  =   weil B orthogonal

A * E * A^T =   Def. von E 

A * A^T  =    weil A orthogonal

2.  . O(n) enthält E  ( klar , weil E*E^T = E ) 

3. mit A ist auch A^{-1} in O(n) .  Musst also prüfen, ob aus A∈O(n) folgt:

A^{-1} * (A^{-1})^T  = E .   Das ist OK, weil wegen A*A^T = E folgt A^{-1} = A^T 

A^{-1} * (A^{-1})^T 

=  A^T * (A^{-1})^T      

= A^T * (A^T)^T      

=  A^T * A   

Und wegen  A*A^T  = E gilt auch  (A*A^T)^T  = E^T = E 

                       also  (A^T)*(A^T)^T  = E  und

        wegen (A^T)^T=A  also auch A^T * A   = E.

Also ist O(n) eine Gruppe.

von 198 k 🚀

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