Zeigen Sie: Ist (G, ∗) abelsch, so ist auch (H, •) abelsch

Question

Aufgabe:

a) Seien (G, ∗) und (H, •) isomorphe Gruppen. Zeigen Sie: Ist (G, ∗) abelsch, so ist auch (H, •)
abelsch. Folgern Sie: (Z₆, +₆) und (S₃, ◦) sind nicht isomorph.
b) Seien {A, B, C} die Eckpunkte vom Dreieck ∆ und ψ : {1, 2, 3} → {A, B, C} eine bijektive
Abbildung. Zeigen Sie, dass folgende Abbildung wohldefiniert und ein Gruppenisomorphismus ist:
G_∆ → S₃, f → ψ⁻¹◦ f ◦ ψ

Hinweis: b) „wohldefiniert“ bedeutet hier: Wenn wir eine Symmetrie des Dreiecks f ∈ G_∆ einsetzen, dann müssen wir überlegen, dass ψ⁻¹ ◦ f ◦ ψ tatsächlich ein Element von S₃ ist.

c) (4 Bonuspunkte) Sei nun G := {e, a, b, c} und ∗ die Verknüpfung auf G, die Verknüpfungstafel rechts definiert ist. Vergleichen Sie mit der Verknüpfungstafel von (Z₄, +₄) und überlegen Sie, ob
(G, ∗) und (Z₄, +₄) isomorph sind. Sie dürfen dabei voraussetzen,
dass (G, ∗) eine Gruppe ist. Begründen Sie Ihre Antwort.

∗ e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e

Problem/Ansatz:

Comments

a) Ein Gruppenisomorphismus zwischen zwei Gruppen (G,∗) und (H,⋅) ist eine bijektive Abbildung
ϕ:G→H, die die Gruppenstruktur erhält, d.h., für alle a,b∈G gilt ϕ(a∗b)=ϕ(a)⋅ϕ(b).

Angenommen : (G,∗) ist abelsch, das heißt, für alle x,y∈G gilt x∗y=y∗x. Wir wollen zeigen, dass dies impliziert, dass auch (H,⋅) abelsch ist.

Betrachten Sie den Gruppenisomorphismus
ϕ:G→H. Für alle ϕ(a),ϕ(b)∈H haben wir: ϕ(a∗b)=ϕ(a)⋅ϕ(b)

Da dies für beliebige a,b∈G gilt, können wir die Reihenfolge der Elemente in G vertauschen, was bedeutet, dass (H,⋅) abelsch ist. Folglich, wenn (G,∗) abelsch ist und ϕ:G→H ein Gruppenisomorphismus ist, dann ist auch (H,⋅) abelsch.

Nun betrachten wir (Z6,+6) und (S3,∘). (Z6,+6) ist abelsch, da die Addition von ganzen Zahlen abelsch ist. Aber (S3,∘), die symmetrische Gruppe der Ordnung 3, ist nicht abelsch, da nicht alle Permutationen vertauschbar sind.

Da abelsche Gruppen unter einem Gruppenisomorphismus auf abelsche Gruppen abgebildet werden und (S3,∘) nicht abelsch ist, können (Z6,+6) und (S3,∘) nicht isomorph zueinander sein.

Answer 1

Für a) hast du doch eine prima Lösung. Geht es um b) ?

Dann kannst du doch so argumentieren:

Jede Symmetrie f entspricht doch einer Bijektion {A, B, C} → {A, B, C}.

z.B. Spiegelung an der Mittelsenkrechten von BC wäre \( \begin{pmatrix} A & B &  C \\ A & C & B \end{pmatrix} \).

Und die Elemente von S3 kannst du auch statt mit den Zuordnungen zu 1,2,3

mit denen zu A,B,C bezeichnen. Dann hast du bei ψ⁻¹◦ f ◦ ψ die

Verkettung bijektiver Abbildungen, und die ergeben wieder eine

bijektive Abbildung.

Bei c) sind in der gegebenen Gruppe alle Elemente zu sich selbst invers.

Bei (Z4, +4) ist das nicht der Fall.

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b)

Um zu zeigen, dass die Abbildung ψ⁻¹∘f∘ψ ein Gruppenisomorphismus ist, müssen wir die Gruppenstruktur erhalten. Hier ist G_Δ die Symmetriegruppe des Dreiecks Δ und S₃
ist die symmetrische Gruppe der Ordnung 3.

Betrachten Sie eine beliebige Symmetrie g in G_Δ. Die Abbildung ψ⁻¹∘f∘ψ bildet die Ecken von Δ auf sich selbst ab, da ψ bijektiv ist. Das bedeutet, dass ψ⁻¹∘f∘ψ eine Permutation der Ecken von Δ ist. Da ψ⁻¹∘f∘ψ eine Bijektion ist, erhalten wir eine Permutation der Menge {1,2,3}, und somit liegt ψ⁻¹∘f∘ψ in der symmetrischen Gruppe
S₃.

Umgekehrt, wenn σ eine Permutation von {1,2,3} ist, dann ist ψ∘σ∘ψ⁻¹ eine Symmetrie des Dreiecks Δ, da es die Ecken von Δ auf sich selbst abbildet. Also liegt ψ∘σ∘ψ−1 in
G_Δ.

Damit haben wir gezeigt, dass die Abbildung ψ⁻¹∘f∘ψ eine Bijektion zwischen G_Δ undS₃ ist und die Gruppenstruktur erhält. Folglich handelt es sich um einen Gruppenisomorphismus zwischenG_Δ undS₃.