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Brauche Hilfe bei folgender Aufgabe.

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Vielen Dank

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Du sollst zeigen das Punkt P und Bildpunkt P' gleich weit vom Ursprung entfernt liegen und das ∠POP' = φ ist.

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Wie mache ich das dann ?

M·P = P'

[COS(φ), SIN(φ); - SIN(φ), COS(φ)]·[x; y] = [x·COS(φ) + y·SIN(φ); y·COS(φ) - x·SIN(φ)]

|OP| = |OP'|

|[x; y]| = |[x·COS(φ) + y·SIN(φ); y·COS(φ) - x·SIN(φ)]|

|[x; y]|^2 = |[x·COS(φ) + y·SIN(φ); y·COS(φ) - x·SIN(φ)]|^2

x^2 + y^2 = (x·COS(φ) + y·SIN(φ))^2 + (y·COS(φ) - x·SIN(φ))^2

x^2 + y^2 = (x·COS(φ) + y·SIN(φ))^2 + (y·COS(φ) - x·SIN(φ))^2

x^2 + y^2 = x^2·COS(φ)^2 + 2·x·y·SIN(φ)·COS(φ) + y^2·SIN(φ)^2 + y^2·COS(φ)^2 - 2·x·y·SIN(φ)·COS(φ) + x^2·SIN(φ)^2

x^2 + y^2 = x^2·COS(φ)^2 + y^2·SIN(φ)^2 + y^2·COS(φ)^2 + x^2·SIN(φ)^2

x^2 + y^2 = x^2·(COS(φ)^2 + SIN(φ)^2) + y^2·(SIN(φ)^2 + COS(φ)^2)

x^2 + y^2 = x^2·(1) + y^2·(1)

x^2 + y^2 = x^2 + y^2

Danke Mathecoach,


Ist die Aufgabe nun fertig ? Das ist schwieriger als gedacht

Nein. Das ist nur der nachweis das P und P' gleich weit vom Ursprung entfernt sind. Das sie einen Winkel von φ bilden ist noch etwas aufwändiger.

Oh man muss das auch noch gemacht werden.

Ist es fürs Studium? Hattet ihr eigenschaften von Drehmatrizen? Das z.B. die Determinante gleich 1 sein muss?

Ja. Weiss ich nicht mehr leider.

Wenn du sowenig weißtdann solltest du vielleicht 

https://www.youtube.com/results?search_query=abbildungsmatrizen

und 

https://www.mathelounge.de/tutors

in Anspruch nehmen.

Das scheint sehr aufwenig zu sein aber habe leider keine Zeit die Klausur rückt in paar Tagen an

Und du meinst ich habe jetzt eine Stunde Zeit dir deine Arbeit zu machen? Wo du nichts an Grundlagen hast oder weißt?

Das kann ich doch später nachholen mit den Videos auf Youtube 

Könntest du es bitte erklären wäre gut geholfen ? 

Das hängt davon ab, wie ihr Drehmatrizen definiert habt. Im Grunde genommen ist das oben schon die Definition ;).

https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix

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  Mach dich mal schlau in den Büchern. Der Nachweis ist doch geschenkt und funktioniert auch noch in 4 711 Dimensionen. Ich formuliere es jetzt mal mit Spalten; statt dessen kannst du alles genau so gut mit den Zeilen machen.

   Bilde das Skalarprodukt ( Pythagoras ) von jeder Spalte mit sich selbst; es muss Eins heraus kommen.

     Wenn du das Skalarprodukt bildest von zwei verschiedenen Spalten i und j , muss Null heraus kommen  ===>  Kroneckerdelta .

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Ich habe leider keine Ahnung.

   Kleine Anekdote gefällig?  Meine Nachbarin fragte mich, wie alt ich sei - fünf.  Ziemlich frech fragte ich zurück.

     "  Hat dir noch niemand gelernt, dassmer Fraaa ( Frau ) sowas net freeeescht? Isch bin zehn Jahrn älter wie dei Mutter. "

    " Wie viel ist denn das? "

    " Geh bei dei Mutter; die seht ' sdir denn schon. "

    " Meine Mutter ist 37. "

   " Des waaß isch aach, du Schlauberger. "

      Ich fragte Daddy

    " Pass auf; deine Mutter ist 37. Und die Frau Rossner ist zehn Jahre älter; macht 47. "

      " Woher weißt du denn sowas? "

     " Tjaa; Pappis sind große Zauberer. Die können das ... "

     "  Kann das die Frau rossner auch? "

     " Aber natürlich; jeder kann das. "

    " Das erstaunt mich - weil du doch immer sagst, du bist so viel schlauer als die Frau Rossner. Aber wie macht man das; wie kommt man da drauf? "

    "  Das kann ich dir beim besten Willen nicht erklären; da fehlen noch alle Grundlagen. "


    Tjaa; du kannst sagen du hast keine Ahnung.  Da gäbe es z.B. die Mechaniklehrbücher von Agoston Budo und Herbert Goldstein, wo viel mit Matrizen gemacht wird. Oder du schaust mal in so AGULA Lehrbücher wie Kowalsky oder Greub.

    euer Prof bzw. Lehrer muss euch ja auch irgendwas gesagt haben.  Weil bei Matrizen kommst du mit " keine Ahnung "  auf keinen grünen Zweig.

    Es gibt ja dinge, die sich intuitiv erschließen; als promovierter Physiker habe ich jedoch die erfahrung gemacht:  Der beste Zugang zu Matrizen ist immer die Motivation;  jene Fragestellung

   " Das verstehe ich nicht; WARUM macht man dies überhaupt? Wie kommt man darauf? "

    Z.B. Drehmatrizen ( in 3 Dimensionen ! ) bietet heute ja schon der Macintosh auch dem unbedarften Zeitgenossen an;    diese Eulerwinkel z.B. bekommst du im goldstein doch super erklärt. Du müsstest nur mal bereit sein, da einen Blick rein zu werfen.

   wofür macht ihr das überhaupt? Ist das jetzt eine Vorlesung in AGULA oder in Physik?

Hallo Klaus,

hatten wir das nicht schon geklärt, dass Dein Genöhle '' sinnlos ist, da wir nicht wissen, wo genau Dein Problem liegt. Falls Du kein Troll bist, bitte ich Dich, konkrete Fragen mit korrekter deutscher Rechtschreibung und Grammatik zu stellen.

Und wenn jemand antwortet und Du verstehst etwas nicht, dann sage bitte genau, was Du an der Antwort nicht verstanden hast.

Wie alt bist Du eigentlich? Und was für eine Ausbildung machst Du gerade?

Gruß Werner

Ich verstehe die ganze Aufgabe nicht. Ich weiss nicht wie ich diese Rotationsmatrix lösen muss.

Du sollst die Rotationsmatrix nicht lösen, sondern etwas zeigen. Du sollst zeigen, dass es sich bei besagter Matrix um eine Rotationsmatrix handelt.

Man zeigt dies, indem man nachweist, dass die Matrix die Eigenschaften einer Rotationsmatrix besitzt. Ich unterstelle mal, dass Du nicht weißt, was diese Eigenschaften sind. Weil Dein Script ist weg, Dein Lehrer ist krank und Du verstehst nicht!

OK - ich behaupte mal, dass eine (reine) Rotationsmatrix sich durch drei Dinge beschreiben lässt:

1. Es ist eine Orthogonalmatrix

2. Die Spaltenvektoren haben den Betrag 1

3. Die Determinatente ist größer als 0, und da die Beträge der Spaltenvektoren =1 sind, muss die Deterninaten den Wert +1 haben.

Bem.: Lt. dem Wikipedia-Entrag schließt die Definition einer Orthogonalmatrix ein, dass die Spaltenvektoren den Betrag 1 haben (das ist eine Sache der Definition)

Ich unterstelle, Du weißt nicht was eine Orthogonalmatrix ist und Du verstehst auch die Erklärung im Wiki nicht. Und ich habe verstanden, dass der Versuch es Dir zu erklären, sinnlos ist. Ich kann Dir aber zeigen, wie man es 'rechnet' - danach fragst Du ja immer. Für eine Matrix \(A\) rechnet man:

$$A^T \cdot A = ?$$

Was \(A^T\) ist, solltest Du inzwischen verstanden haben (siehe hier)! Und wenn dann die Einheitsmatrix (weißt Du was das ist?) heraus kommt, dann sind die Eigenschaften 1) und 2) erfüllt. Also rechne ich

$$A = \begin{pmatrix} \cos \varphi& \sin \varphi \\ -\sin \varphi & \cos \varphi\end{pmatrix}$$

$$A^T = \begin{pmatrix} \cos \varphi& -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi\end{pmatrix}$$

$$ \begin{aligned} A^T \cdot A &= \begin{pmatrix} \textcolor{#F44}{\cos \varphi }& \textcolor{#40F}{-\sin \varphi} \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \textcolor{#5F4}{\cos \varphi }& \sin \varphi \\ \textcolor{#4F4}{-\sin \varphi} & \cos \varphi \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \textcolor{#F44}{\cos \varphi } \cdot \textcolor{#5F4}{\cos \varphi } + (\textcolor{#40F}{-\sin \varphi})\cdot (\textcolor{#4F4}{-\sin \varphi})& \textcolor{#F44}{\cos \varphi }\cdot \sin \varphi + (\textcolor{#40F}{-\sin \varphi}) \cdot \cos \varphi\\ \sin \varphi \cdot \textcolor{#5F4}{\cos \varphi }+ \cos \varphi \cdot (\textcolor{#4F4}{-\sin \varphi}) & \sin \varphi \cdot \sin \varphi + \cos \varphi \cdot \cos \varphi\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (\cos \varphi)^2 + (\sin \varphi)^2 & 0 \\ 0 & (\sin \varphi)^2 + (\cos \varphi)^2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\end{aligned} $$

Ich habe Dir einige der Größen farblich markiert, so siehst Du wie ich darauf komme. Ich unterstelle mal, Du weißt nicht, wie ich von \((\cos \varphi)^2+(\sin \varphi)^2\) auf die 1 komme. Glaub' es mir einfach, das ist immer so!

Jetzt fehlt noch die 3.Eigenschaft; die Determinante muss =1 sein. Eine Determinante einer 2x2-Matrix ist leicht zu rechnen:

$$\begin{aligned} |A| &= \left| \begin{matrix} \cos \varphi & \sin \varphi \\ -\sin \varphi & \cos \varphi \end{matrix} \right| \\ &= \cos \varphi \cdot \cos \varphi - \sin \varphi \cdot (-\sin \varphi) \\ &= (\cos \varphi )^2 + (\sin \varphi)^2 \\ & =1\end{aligned}$$

also sind alle Eigenschaften erfüllt und die obige Matrix ist demnach eine Rotationsmatrix.

   An dich; Werner Salomon. wir kennen uns ja schon.  Nicht dass es mir um den Klaus ginge. Dem seine Fragen haben etwas Psychopatisches.

    An anderer Stelle erkundigt sich Klaus nach einer  3 X 3 Matrix.  Ich schrieb ihm damals, notwendig und hinreichend für Drehmatrix ist: Du musst nachprüfen,  dass die Skalarprodukte der Spalten das Kronecker Delta ergeben.

    Weil woran ich mich bei dir stoße; die Determinante intressiert überhaupt nicht.  Dass eine Matrix Determinante 1 hat, qualifiziert sie noch lange nicht zur Drehmatrix.

    

habakuk* schrieb: "Dass eine Matrix Determinante 1 hat, qualifiziert sie noch lange nicht zur Drehmatrix." Stimmt - aber ihre Determinante muss >0 sein, sonst wäre es auch eine Spiegelung. Und zusammen mit der Bedingung 2) wird die Determinante dann zur 1. Gib mir doch mal ein Gegenbeispiel, falls das nicht stimmt!

Zusätzlich mit der Bedingung 'Orthogonalmatrix' sollte sich IMHO dann die Eigenschaft 'Rotationsmatrix' ergeben.

Deine Aussage: "... dass die Skalarprodukte der Spalten das Kronecker Delta ergeben" ist doch identisch zu \(A^T \cdot A = \underline{1}\). Im Übrigen bezweifle ich, dass Klaus den Namen 'Kronecker' jemals gehört hat.

Beispiel: Ist dies eine Rotationsmatrix?

$$\begin{pmatrix} \frac12 & \frac12\sqrt3 \\ \frac12\sqrt3 & -\frac12\end{pmatrix}$$

  Danke Werner für deinen Geist reichen Kommentar.  Da gibt es viel drauf zu antworten.  Natürlich; meine Ortogonalitätsforderung nach den Spalten einer Matrix U ist äquivalent zu


           U  ^  -  1  =  (  U+  )       (  1  )


      Du könntest daher  " unitäre Matrix "  auch über  (  1  )  definieren.

    Ein tief liegendes Teorem der Liegruppenteorie besagt, eine Matrix  U  ist genau dann unitär, wenn sie sich schreiben lässt als e-Funktion


        U  =  exp  (  i  H  )       (  2  )


     mit  H  Hermitesch.  ( 2 )  ist so eine Art verallgemeinerter Eulersatz, wenn man bedenkt, dass Hermitesche Matrizen oft als  die reellen Zahlen unter den Matrizen bezeichnet werden.

     Aus ( 2 ) folgt unmittelbar, dass sich jedes unitäre U auf eine Ortonormalbasis diagonalisieren lässt und die Eigenwerte auf dem komplexen Einheitskreis liegen ( was sich übrigens auch elementar einsehen lässt. )

    Ist im Übrigen U reell, so treten Eigenwerte immer Paar weise komplex konjugiert auf. Bzw. reelle Eigenwerte können nur sein ( +/- 1 )  Aus dieser Beobachtung folgt die Aussage


           det  (  U  )  =  (  +/-  1  )         (  3  )


      in Übereinstimmung mit  (  1  )

       Aber dass eine Matrix Determinante  1  hat,  ist in gewissem Sinne trivial und  hat mit Unitär nicht das Geringste zu tun. Sei  M  eine beliebige Matrix; dann definiere ich


        M  '  :=   [  1 / det ( M ) ]  *  M          (  4a  )


      Gegenbeispiel


       2          0

       0       1/2           (  4b  )


      Und jetzt  zu deinem Beispiel.



        P  :=    1/2    *       1                 3  ^  1/2           (  5a  )

                                  3 ^  1/2              - 1



       Offensichtlich ist P Hermitesch


                        (  P+  )  =  P           (  5b  )


Aus den  Eigenschaften


      Sp  (  P  )  =  0  ;  det  (  P  )  =  (  -  1  )          (  5c  )


    erschließt man zwei Eigenwerte  (  +/-  1 )  Damit erfüllt  P  die Matrixpolynomgleichung


                P  ²  =  1         (  6a  )


         Ein Hermitescher Operator, der Identität ( 6a ) erfüllt,  heißt bei uns Physikern traditionell Parität.  Zusammen mit ( 5b )  bedeutet ( 6a ) aber auch gleichzeitig


       P  (  P+  )  =  1        (  6b  )


    Jede Parität ist gleichzeitig unitär.

   Najaa;  ich bin jetzt nicht so der Fachmann für Liegruppen.  In unseren Lehrbüchern stand drin,  dass sich die  O ( n ) aus zwei Zusammenhangskomponenten zusammen setzt -  je nach Vorzeichen der Determinante.   In keinem irgendwie gearteten Sinne beschreibt dein P eine Drehung um 60  °  , sondern eine Klappspiegelung um eine Achse, die um diesen Winkel gedreht ist.

    PS  ;  mein Verhältnis zu Leo Kronecker ist durchaus ein nicht triviales.

   Vor etwa zehn Jahren schlug ich eine Beschleunigung des Euklidischen ggt Algoritmus vor; ab 5 wird aufgerundet wie üblich. Das hat ja schon der Herr Lehrer gesagt.  Also 64  : 13  gibt nicht 4 Rest 12, sondern 5 Rest ( - 1 )

     Die Reaktion der Schüler war durch die Bank ablehnend.  Traditionell sind ja Schüler autoritär.

     " Das bringt nichts; und wenn es etwas brächte, hätte uns das der Lehrer schon gesagt ... "

         Keiner argumentierte

   "  Da ich ohnehin meine Hausaufgaben im Internet abschreibe, könnte ich ja mal auf die Idee kommen, den Lehrer zu fragen, was er von deinem Vorschlag hält. "

    Nur einer meldete sich; der gab mir einen Link im Internet. Die Rezension einer Kroneckerarbeit.   Freilich hatte sich Kronecker seiner Zeit bissele mehr angesttengt als icn.

   Er hatte gezeigt:  die Konvergenzgeschwindigkeit des klassischen Euklid beträgt zwei Mal die Stellenzahl des Zählers; und unter allen denkbaren Modifikationen  des Euklid ist seine, Kroneckers,  die  schnellst mögliche. Sie besteht wie gesagt darin, ab 5 aufzurunden.

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