Untergruppe von U = (132) in S3 finden

Question

Mitschrift:

S3 besteht aus:

\(S_3  = \{id, (12), (13), (23), (123), (132)\} \)

\(= \{(123), (213), (321), (132), (231), (312) \} \)

Die Untergruppe wird gebildet durch Multiplikation mit sich selber:

\(  U = (132) = \{ (123), (123) * (123), (123) * (123) * (123), ..., (123)^6 \}  \)

hier bleiben 3 Elemente Abbildungen übrig:

// ab hier versteh ich nix mehr

\(= \{ (132), (123), id \}\)

Links-Nebenklassen: 

id * U = { id * id, id * (132), id * (123) }

          = { id, (132), (123) }

(12) * U  = { (12), (13), (23) }

Answer 1

Ich vermute mal, dass dich die unterschiedlichen Schreibweisen der

Gruppenelemente verwirren.

Lies dazu https://de.wikipedia.org/wiki/Permutation#Notation

und beachte: In der Zeile  U = ...........

ist die Zykelschreibweise gewählt worden.

Außerdem ist in der Zeile wohl ein (Ab)schreibfehler, es muss wohl

heißen  U = (123); denn es werden ja die Potenzen von (123) betrachtet.

Das U ist also die von dem Zykel   p=(123) erzeugte Untergruppe

und die besteht aus allen (verschiedenen) Potenzen dieses Zykels.

und es ist  p^1 =(123)

und p^2 = (132)

und p^3 = id

die weiteren Potenzen liefern nichts anderes mehr; deshalb besteht diese

Untergruppe nur aus den Elementen  (123) und (132) und id .

Da die Gruppe 6 und die Untergruppe 3 Elemente hat, gibt es 2 verschiedene

Links-Nebenklassen. Die sind ja da angegeben.