Bestimmen Sie, in Abhängigkeit von t ∈ ℝ, eine Basis von Ut

Question

Betrachten Sie, für t ∈ ℝ, den von den Vektoren

(t, −1, t + 1, 4),                  (7t − 2, −7, 7t + 4, 27),
(2, 0, 3, 1),                        (21t − 4, −21, 21t + 15, 82)

erzeugten Untervektorraum U_t des euklidischen Standardvektorraumes ℝ⁴.

(a) Bestimmen Sie, in Abhängigkeit von t ∈ ℝ, eine Basis von U_t und eine Ergänzung derselben zu einer Basis von ℝ⁴.

(b) Bestimmen Sie, in Abhängigkeit von t ∈ ℝ, eine Basis für das orthogonale Komplement von U_t in ℝ⁴.

(c) Bestimmen Sie, für t = 7, eine Orthonormalbasis für U_t.

Answer 1

Hallo

1. feststellen ob es ein t gibt, für das die 2 Vektoren linear avhängig sinf, wenn nicht bilden sie schon eine Basis von U_t, in beiden Fällen sind die Vektoren für kein t  proportinal (wenn ja bildet für da t einer der Vektoren die Basis.)

2. zu einer Basis von R^4 ergänzen 2 weitere lin unabhängige Vektorn raten, mir scheint 2 der üblichen Basisvektoren tun das.

für b) 2  lin unabh zu denn  Vektoren von U_t orthogonale finden,

c) Gram-Schmitt: einen normieren, dann den zweiten senkrecht dazu

Gruß lul

Comments

(a) Eine Basis von U_t sind dann 2 linear unabhängige Vektoren, da 3 schon linear abhängig sind. Wir können 2 beliebige Vektoren aus U_t nehmen und dies zu Basis ergänzen. Um das zur Basis von ℝ⁴ zu ergänzen, brauchen wir noch 2 linear unabhängige Vektoren, mit Voraussetzung, dass alle 4 linear unabhängig sind und dass alle Erzeugendensystem bilden. Dann gilt:

Basis von U_t = { (t, −1, t + 1, 4), (2, 0, 3, 1) | t ∈ ℝ}

U_t ergänzen zu Basis von ℝ⁴ = {(t, −1, t + 1, 4), (2, 0, 3, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) | t ∈ ℝ}

Stimmt das so?

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(b) Also ich habe Kreuzprodukt von (t, −1, t + 1, 4) und (2, 0, 3, 1) gemacht und habe eine orthogonale Komplement von den bekommen. Danach habe ich noch ein Kreuzprodukt von 2 anderen Vektoren gemacht bzw. von (7t − 2, −7, 7t + 4, 27) und (2, 0, 3, 1) und habe noch eine orthogonale Komplement bekommen. Daraus folgt 2 Vektoren, die orthogonal zu U_t sind und die linear unabhängig sind. 
Diese 2  Vektoren bilden eine Basis für das orthogonale Komplement von U_t.

Ist das so richtig?