Ableitung eines Bruches bilden: f(x) = (3x²+2)/(x-1)

Question

Ich suche die Ableitung von der Funktion, die man im Bild sieht. Wie macht man das mit der Produktregel? 

Die Quotientenregel machen wir nicht mehr in der Schule.

$$f(x)=\dfrac{3x^2+2}{x-1} $$

Comments

Tipp: \(\large f(x)=\dfrac{3x^2+2}{x-1}=3x+3+\dfrac5{x-1}\).

Answer 1

f ( x ) = ( 3x^2+2)*(x-1) ^{-1}
u = 3x^2+2
u ´= 6x
v = ( x-1) ^{-1}
v ´ = -1 ( x -1 ) ^{-2}

f ´( x ) = 6x * ( x-1) ^{-1} + (3x^2+2) * (-1)*( x -1 ) ^{-2}

Das Ergebnis stimmt und kann bei Bedarf noch
zusammengefaßt werden.

Answer 2

(3x²+2)/(x-1)=(3x²+2)·(x-1)^-1 ist ein Produkt. Jetzt  muss man allerdings die Kettenregel kennen:

Answer 3

= (3x^2+2)*(x-1)^{-1}

Answer 4

  Was mir unheimlich zusagt; dass ihr keine Quotientenregel ( QR ) mehr macht.     Die ist nämlich tödlich; ihr müsst sie meiden wie die Pest.

   Die Antwort von nn mit der Polynomdivision  bevorzuge auch ich; siehst du den Vorteil?

  Es handelt sich übrigens um eine Polynomdivision durch Linearfaktor ( PDLF )  ; und die geht schon über das Hornerschema  ( Ich hoffe, dass du das kannst. ) Das ist hier sogar so einfach, dass das akkgemeine Prinzip noch gar nicht so recht deutlich wird. PDLF geht doch so:

        f  (  x  )  :=  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0       (  1a  )

                          a2  =  3  ;  a1  =  0  ;  a0  =  2     (  1b  )

         f  (  x  )  :  (  x  -  1  )  =  m  x  +  b  Rest  f  (  1  )       (  1c  )

        Und Horner geht so:

       p2  (  f  )        =             a2  (  f  )  =  3                  =  m             (  2a  )

      p1  (  f  ;  1  )  =  p2  +   a1  (  f  )  =  3  +  0  =  3  =  b              (  2b  )

      p0  (  f  ;  1  )  =  p1  +  a0  (  f  )  =  3  +  2  =  5  =  f  (  1  )          (  2c  )

     (  3  x  ²  +  2  )  :  (  x  -  1  )  =  3  (  x  +  1  )   +  5 /  (  x  -  1  )      (  2d  )

Comments

 Mal sehen, ob ich dich reinlegen kann. Wenn ich dich frage; was für ein Typ Kurve ist  ( 2d ) und du antwortest, " Gerade + Hyperbel " , hast du schon verloren .  Es gehört zu meinen Entdeckungen, dass nicht nur

        " Gerade  +  Hyperbel  =  Hyperbel  "      (  2.1  )

    sondern ich habe damit gleichsam   ine neue Normalform angegeben.  Du kannst nämlich jede Hyperbel in die Form ( 2.1 )  bringen voraus gesetzt, du drehst die Zeichnung so, dass eine der beiden ===> Asymptoten   vertikal unter  90 ° verläuft.

   Was dich hier seltsam anmutet: An sich bist du nur die gleichseitige Hyperbel gewohnt, deren beide Asymptoten aufeinander senkrecht stehen.

    Dagegen in ( 1.2d ) hast du eine Asymptote

       g  (  x  )  :=  3  (  x  +  1  )        (  2.2a  )

     und die andere

             x  =  1       (  2.2b  )

      Diese Hyperbel ist gestaucht; ihr Öffnungswinkel ist < 90  °

     Die ( beiden ) Äste einer Hyperbel verlaufen übrigens Punkt symmetrisch gegen den Schnittpunkt ihrer Asymptoten; setze x  = 1 in ( 2.2a )

      (  x0  |  y0  )  =  (  1  |  6  )       (  2.3  )

   Mach selbst die Probe. Der rechte Ast muss ein Minimum haben und der linke ein Maximum; diese lassen sich leicht bestimmen aus  ( 2.2d )  Und?  Erfüllen sie diese Symmetrie?