Prüfung einer Funktion auf Nullstellen,Wendepunkte...

Question

Hallo

Die Funktion:

f(x)= (x² -1)/(✓(x²+1))

soll auf ihre

• Nullstellen,

• Schnittpunkte mit der y-Achse,

• Wendepunkte und

• Minimum/Maximum

überprüft werden.

Ist es korrekt, dass man in diesem Fall nur den Zähler betrachten muss und nicht den Nenner?

Ist es ebenfalls korrekt, da es sich hierbei um eine Parabel handelt und es somit keine Wendepunkte gibt ?

Danke :)

Comments

Was soll ✓ bedeuten?

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Wurzel, was sonst

---

Ist aber keine!        

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genau ✓ soll die wurzel sein. hab das falsche symbol gewählt.

✓ = √

Answer 1

Nullstellen : Zähler = 0 setzen

x_1,2=± 1

hier ein nützliches Tool dazu.

Wendepunkte:

W₁ ( -1/0)

W₂ (1/0)

siehe hier:

https://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion

Comments

Danke für deine Antwort.

Jedoch kann man ja das Ergebnis vom Zähler "ablesen" , also wie gesagt betrachtet man ja dann nur den Zähler. Ich möchte gerne wissen warum man in diesem Fall nur den Zähler zu betrachten braucht. Oder liege ich hier falsch?

---

Ein Quotient ist genau dann null, wenn der Dividend null und der Divisor nicht null ist. Man muss also Zähler und Nenner betrachten!

---

(x^2 -1)/(√(x^2+1))=0 |* √(x^2+1)

x^2-1=0

x_1.2=± 1

oder siehe hier:

https://www.mathebibel.de/gebrochenrationale-funktionen-nullstellen-berechnen

Answer 2

Nullstellen:

√(x^2+1)=0   | Wurzel auflösen mit ^2

x^2+1=0^2   |-1

x^2=-1

----> Keine Lösung

(x^2-1)=0    |+1

x^2=1

x_1,2=±√1

x₁=1

x₂=-1

Der Rest wird jetzt etwas komplex, für mehr hier:

http://www.mathepower.com/kurvendiskussion.php

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Hallo Anton

Fehlerhinweis
Nullstellen:
√(x^2+1)=0
Wenn der Nenner null ist ergibt sich in der Regel
eine undefinierte Division durch 0.

Sondern

f ( x^2 -1 ) / sqrt ( x^2+1 )
Ein Bruch ist dann 0 wenn der Zähler 0 ist, also
x^2 -1 = 0

den null durch irgendwas ist null.

Answer 3

Hier die Berechnungen

Bei Bedarf nachfragen.

Answer 4

Ist es korrekt, dass man in diesem Fall nur den Zähler betrachten muss und nicht den Nenner?

Für Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte suchst du Nullstellen. Nullstellen hat man bei einem Bruch immer wenn der Zähler Null wird. Daher braucht man nur den Zähler gleich null setzen.

Ist es ebenfalls korrekt, da es sich hierbei um eine Parabel handelt und es somit keine Wendepunkte gibt ?

Es gibt hier Wendepunkte.

Das globale Verhalten ist wie y = |x|

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Funktion & Ableitungen
f(x) = (x^2 - 1)/√(x^2 + 1)
f'(x) = x·(x^2 + 3)/(x^2 + 1)^{3/2}
f''(x) = 3·(1 - x^2)/(x^2 + 1)^{5/2}
f'''(x) = 3·x·(3·x^2 - 7)/(x^2 + 1)^{7/2}

Symmetrie
Achsensymmetrie bedingt durch nur gerade Exponenten von x

Y-Achsenabschnitt f(0)
f(0) = (0^2 - 1)/√(0^2 + 1) = -1

Nullstellen f(x) = 0
(x^2 - 1)/√(x^2 + 1) = 0
x^2 - 1 = 0 --> x = ±1

Extrempunkte f'(x) = 0
x·(x^2 + 3)/(x^2 + 1)^{3/2} = 0
x·(x^2 + 3) = 0
x = 0
f''(0) = 3 > 0 --> Tiefpunkt
f(0) = -1 --> TP(0 | -1)

Wendepunkte f''(x) = 0
3·(1 - x^2)/(x^2 + 1)^{5/2} = 0
1 - x^2 = 0 --> x = ±1
f(±1) = 0 --> WP(±1 | 0)

Skizze

~plot~ (x^2-1)/sqrt(x^2+1);abs(x);[[-12|12|-2|16]] ~plot~

Answer 5

  Zunächst fällt auf, dass deine Funktion gerade Symmetrie hat; ich versuchs mal mit einer Substitution

         x  =:  tg  (  ß  )   ;   -  Pi/2  <  ß  <  Pi/2         (  1a  )

                                  cos ( 2ß )

         1  -  x  ²  =        --------------------           (  1b  )

                                    cos ² ( ß )

        und zwar ( 1b ) auf Grund eines Additionsteorems  ( AT ) .

       sqr  (  1  +  x  ²  )  =  1 /  cos  (  ß  )       (  1c  )

      y  cos  (  ß  )  =  -  cos  (  2  ß  )         (  2a  )

     Jetzt ableiten

      ( dy/dß )  cos  (  ß  )  -  y  sin  (  ß  )  =  2  sin  (  2  ß  )        (  2b  )

     Die Ableitung setze ich jetzt sang-und klanglos Null als notwendige Bedingung für Extremum.

               -  y  sin  (  ß  )  =  4  sin  (  ß  )  cos  (  ß  )        (  2c  )

     wobei abermals ein AT benutzt wurde.  Das ist also schon mal erfüllt, wenn  sin  ( ß ) verschwindet, also für x = 0  .  Ansonsten hätten wir  in (  2a  ) einzusetzen 

             y  =  -  4  cos  (  ß  )    (  3a  )

        4  cos  ²  (  ß  )  =  cos  ²  (  ß  )  -  sin  ²  (  ß  )    (  3b  )

      3  cos  ²  (  ß  )  +  sin  ²  (  ß  )  =  0      (  3c  )

    (  3c  )  ließe sich nur erfüllen, wenn Sinus und Kosinus gemeinsame Nullstellen hätten.

  

      Um welche Art von Punkt handelt es sich bei x0 = 0 ?  y  ²   ist jeden Falls ein Polynom, das wegen Zählergrad  >  Nennergrad  gegen Unendlich geht für x  ===>  (  °°  )   Das ( gerade ) Polynom muss sein absolutes Minimum annehmen.

    Mal sehen, was wir bei der 2. Ableitung erreichen können.  Zunächst aus ( 2b )

     ( dy/dß )  =  y  tg  (  ß  )  +  4  sin  (  ß  )       (  4a  )

    Was der Herr Lehrer besonders gerne hört; Differenziale musst du kürzen  ===>  parametrisches Differenzieren.

     y  '  =  ( dy/dx )  =  ( dy/dß )  (  dß/dx  )       (  4b  )

    Aus   ( 1a ) folgt

      ( dx/dß )  =  1 /  cos  ²  (  ß  )  ===>   ( dß/dx )  =  cos  ²  (  ß  )       (  4c  )

           y  '  =   sin  (  ß  )  [  1  +  2  cos  ²  (  ß  )  ]       (  5a  )

     ( dy ' / dß )  =  cos  (  ß  )  +  2  cos  ³  (  ß  )  -  4  sin  ²  (  ß  )  cos  (  ß  )  =  0    (  5b  )

        1  +  2  cos  ²  (  ß  )  -  4  sin  ²  (  ß  )  =  0   (  5c  )

     Pytia und Goras

         6  cos  ²  -  3  =  0   ===>  cos  ²  =  1/2  ===>  x  (  w  )  =  (  +/- 1 )

Comments

  Wie ihr wisst, bin ich ein ganz ein scharfer Hund.  Eine von Schülern häufig gestellte Frage: hat die Wurzelfunktion Asymptoten?   Jeden Falls geht ( 1.5a ) gegen ( +/- 1 )  für x ===>   (  +/-  °°  )  ; sprich:   ß  gegen  (  +/ Pi/2  )  Genau das suggeriert ja auch der  Plot.

   Entgegen dem Wikiwaschi - äh; Wischiwaschi aus Wiki, die Asymptote sei kein klar definierter Begriff, wird hier die Auffassung vertreten:  Bei der Asymptote  handelt es sich um die uneigentliche Tangente. Die Tangente  g ( x ; x0 ) an die Stelle x0 ist definiert als der lineare Anteil der Taylorentwicklung

     g  (  x  ;  x0  )  :=  f  (  x0  )  +  (  x  -  x0  )  f  '  (  x0  )        (  2.1a  )

     Für x0 hatten wir die Transformation eingeführt in ( 1.1a )  ; den Funktionswert  entnehmen wir  (  1.2a  )  so wie die Ableitung  ( 1.5a )

    g  (  x  ;  x0  )  =  -  cos  (  2  ß0  )  /  cos  (  ß0  )  +  x  sin  (  ß0  )  [  1  +  2  cos  ²  (  ß0  )  ]  -  sin  ²  (  ß0  )  /  cos  (  ß0  )  +  sin  (  2 ß0  )   (  2.1b  )

    Der x-abhängige Term hat im Grenzwert Steigung Eins; das hatten wir schon.  Der Term sin ( 2 ß0 )  erweist sich als unkritisch und   gibt Grenzwert Null.   Der Rest lässt sich wieder mit dem AT kürzen.

        cos  (  2  ß0  )  +  sin  ²  (  ß0  )  =  cos  ²  (  ß0  )     (  2.2  )

    Das kürzt sich weg gegen den Nenner  in ( 2.1b ) und strebt gegen Null; die Asymptote verläuft durch den Ursprung.