Partielle Ableitung bestimmen! f(x,y,z)= x^{yz}

Question

Partielle Ableitung bestimmen der 1. und 2 Ordnung bestimmen! f(x,y,z)= x^{yz}

Ich habe Problem bei der 2 Ordnung. fxx fyy und fyz bekomme ich nicht hin;(

Bitte um Lösungsvorschläge oder Ansätze!

Comments

mit dem ln x komme ich immer durcheinander!

Answer 1

xxxxxxxxxxxxxxxxxx

fxx =?

Comments

f_yy??

                 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Answer 2

Hallo dtfahrer,

f(x,y,z)= x^yz       ;        [ a^x ] ' = a^x · ln(a)  →    [ a^bx ] ' = b ·a^bx · ln(a) 

x,z konstant

fy  =  z  ·x^y·z · LN(x)

f_yy  =  z² · x^yz · LN(x)²

Gruß Wolfgang

Comments

aber die Regel lautet doch a^{x}?? das x steht doch im esponenten. bei der aufgabe ist das x aber nicht im Exponenten. Trotzdem kann ich die Form anwenden??

---

a ist in der Regelkonstant,  x ist in der Aufgabe konstant.

in der Regel entspricht dem x  das y aus der Aufgabe.

Answer 3

     Zum Einsatz kommt logaritmisches Differenzieren, eine Sonderform des impliziten Differenzierens. Sämtliche Ableitungen haben dann eine Produktdarstellung mit der Funktion  f  =  f ( x ; y ; z )  , wobei der Vorfaktor eine explizite Funktion  von x , y und z wird.

     ln  (  f  )  =  y  z  ln  (  x  )             (  1  )

    f_x / f  =  y  z  /  x       (  2a  )

    f_x  =  y  z  f / x      (  2b  )

     f_y / f  =  z  ln  (  x  )       (  2c  )

     f_y  =  f  z  ln  (  x  )     (  2d  )

      und weil ja y und z  gleichberechtigt auftreten

      f_z  =  y  f  ln  (  x  )        (  2e  )

    f_xx  = y z ( 1 / x  f_x - f / x ² ) =      (  3a  )

             =  (  y  z / x )  (  f_x  -  f / x )    (  3b  )

      f_x einsetzen  aus  (  2b  )

      f_xx  =  (  y  z  -  1  )  y  z  f / x ²     (  3c  )

      f_xy  aus  ( 2b )

     f_xy  =  (  z / x )  (  f  +  y  f_y  )   =    (  4a  )

              =  [  1  +  y  z  ln  (  x  )  ]   f  z / x     (  4b  )

          Machen wir die Gegenprobe in ( 2d )

      f_yx  =  z  [  f_x  ln  (  x  )  +  f / x  ]    =   (  4c  )

               =  [  y  z  ln  (  x  )  +  1  ]  z  f / x       (  4d  )

       Dann folgt f_xz  aus ( 4b )  unmittelbar über die y/z-Symmetrie

      f_xz  =  [  1  +  y  z  ln  (  x  )  ]  f  y / x    (  4e  )  

    f_yy aus ( 2d ) - die wird jetzt leicht.

     f_yy = z ln ( x ) f_y = z  ²  ln  ²  (  x  )  f    (  5a  )

    und f_zz wieder aus der Symmetrie

     f_zz  =  y  ²  ln  ²  (  x  )  f        (  5b  )

    Bliebe nur noch f_yz

    f_yz  =  (  z  f_z  +  f  )  ln  (  x  )   =   (  6a  )

            =  [  1  +  y  z  ln  (  x  )  ]  f     (  6b  )