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Ursprüngliche Überschrift: Wie komme ich von dieser Ableitungsfunktion auf die normale Funktion?

Ursprünglicher Text: Ich habe diese Funktion gegeben und soll nun die Lösung der Gleichung finden. Wie macht man so etwas ?

von

Das ist eine Differentialgleichung.

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Hallo, 

          f '(x)  =  -4 · f(x) - 8

          f '(x)  =  -4·( f(x) + 2 )     Setze: h(x) := f(x) + 2

          h'(x)  =  -4 · h(x)

           →     h(x)  =  c · e-4x

           →      f(x)  =  c · e-4x - 2

     mit f(0) = 1   →  c - 2 = 1   →  c = 3

     und damit  f(x) = 3 · e-4x - 2

Gruß Wolfgang

von 80 k

Wolfgang vielen Dank für deinen Kommentar. Allerdings muss ich sagen, dass ich mich mit diesem Thema gar nicht auskenne, weshalb sich mehrere Fragen bei mir ergeben.

1. Wieso wird -8 durch 2 ersetzt.

2. Wie wird h(x)= c · e^{-4x}


Danke dir schonmal :)

Wieso wird -8 durch 2 ersetzt.

Dazu kann ich dir was sagen:

er hat jeweils die -4 ausgeklammert. Beachte die Klammern, die er gesetzte hat.

-4*(f(x)+2)=-4f(x)-8

wenn du bei  -4 f(x) - 8  die  -4 ausklammerst,  hast du  -4 · ( f(x) + 2 )

----------

der Term  u' · eu   hat den allgemeinen Stammfunktionsterm  c · eu  mit  c∈ℝ

            hier:  u = -4x  und u' = - 4

oder:

h'(x) = -4 h(x)           [ h(x) = f(x) + 2 > 0 ]

h'(x) / h(x) = -4

Integrieren:

ln( h(x) ) = -4x + k

  h(x) = e-4x+k =  c · e-4x

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