Ist der Betrag der komplexen Zahl eine abelsche Gruppe

Question

S:={z∈C||z|= 1} ist eine abelsche gruppe bzgl. der Multiplikation. z=c+di, w=a+bi

neutrales Element: ∀ w ∈ S: w *z= (a+bi)*(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i=c+di

Da c und d beliebig wählbar sind, muss gelten a=1 und b= 0.

inverses Element: (a+bi) *z= 1= z* (a+bi)

Aus der Vorlesung : Für das Inverse gilt: z^-1=(c-di)/(c²+d²)

Stimmt das soweit oder liege ich hier schon falsch?

Answer 1

ja das ist eine abelsche Gruppe,

siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/U(1)

Comments

Ja, aber ich muss das ja auch beweisen und wollte wissen ob mein Beweis bis hierher stimmt

---

Beweisen musst du hier eigentlich fast gar nix ;) . Du kannst im Grunde genommen alle bekannten Eigenschaften der komplexen Zahlen übernehmen, das umfasst

- die Assoziativität und Kommutativität der Multiplikation (ist so definiert)

- die Existenz des inversen Elements e=1 (hast du oben ja auch begründet, ist eigentlich auch nur Definition)

- inverses Element , wenn z=c+di, dann ist z^{-1}=(c-di)/(c^2+d^2) (hat auch Betrag 1)

- Abgeschlossenheit : z*w=ac-bd+(ad+bc)i ,

|z*w| = √((ac-bd)^2+(ad+bc)^2 ) =√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)=1 passt