geordnete Basis eines Vektorraums

Question

Ich stehe mal wieder bei der a) auf dem Schlauch und komm nicht wirklich weiter. Hat jemand eine  Tipp für mich?

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Comments

https://www.mathelounge.de/schreibregeln Bitte Text als Text eingeben. Das solltest du langsam wissen. 

Answer 1

erstmal zu V, W geht genauso:

Polynome vom Grad 3 oder niedriger haben allgemein die Form

$$a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3$$

Basis bedeutet: du kannst jeden Vektor (hier die Polynome) als Linearkombination

der Basisvektoren (hier die Basispolynome) darstellen.

Die Gleichung

$$a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3=\lambda_0 *1+\lambda_1(t+1)+\lambda_2 (t^2+t+1)+\lambda_3(t^3+t^2+t+1)$$

soll also für beliebige a_i lösbar sein. Schreibt man nun um, so erhält man

$$a_0*1+a_1t+a_2t^2+a_3t^3=(\lambda_0+\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3) *1+(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)t+(\lambda_2+\lambda_3)t^2+\lambda_3t^3\\$$

Zwei Polynome sind gleich, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten übereinstimmen. Man erhält also 4 Gleichungen

$$a_3=\lambda_3\\a_2=\lambda_2+\lambda_3\\a_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3\\a_0=\lambda_0+\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3$$

mit den Lösungen

$$a_3=\lambda_3\\a_2-a_3=\lambda_2\\a_1-a_2=\lambda_1\\a_0-a_1=\lambda_0$$

Also handelt es sich um eine Basis.