Es gibt da einen Schmuddeltrick, eine verallgemeinerte Inversion. Leider vergesse ich die Namen der Genies immer wieder; für das Portal darf ich auch keine Schleichwerbung machen, obgleich es nicht mehr existiert. Aber ich vermisse wunderbare User.
Ursprünglich war der Trick sogar für Kubikwurzeln ausgelegt; ich sah mich allerdings gezwungen, ihn weiter zu entwickeln. Es ist die Substitution
x ^ r = 1 / z ^ m ( 1a )
Dabei ist r € |R ( r muss keines Wegs ganzzahlig sein ) die höchste vorkommende Potenz von x im Radikanden. Wir haben zur Auswahl x ^ 1/2 so wie x ^ 1 ===> r = 1
Und m ist die Ordnung der Wurzel; m = 2 für Quadratwurzel:
x = 1 / z ² ( 1b )
x ^ 1/2 = 1 / z ( 1c )
Der Sinn dieses ganzen Spielchens ist, dass du im Nenner z bekommst - wirste gleich durchschauen. Setzen wir erst mal ein in deine Wurzel
F ( z ) = sqr ( 1 / z ² + 1 / z ) - sqr ( 1 / z ² - 1 / z ) = ( 2a )
= ( 1 / z ) [ sqr ( 1 + z ) - sqr ( 1 - z ) ] ( 2b )
Aber ( 2b ) ist doch nichts weiter als der Differenzenquotient ( DQ ) der eckigen Klammer
f ( z ) := sqr ( 1 + z ) - sqr ( 1 - z ) ( 3a )
genommen zwischen z0 = 0 und der beliebigen Stelle z schlicht und ergreifend, weil f ( 0 ) = 0 ( wobei natürlich jetzt der Grenzwert für z gegen Null zu nehmen ist. ) Und dieser Grenzwert, das wisst ihr, gibt f ' ( 0 )
f ' ( z ) = 1 / 2 sqr ( 1 + z ) + 1 / 2 sqr ( 1 - z ) ( 3b )
f ' 0 ) = 1/2 + 1/2 = 1 ( 3c )
Ein User fragte mich in gespielter Empörung
" Warum lernen wir eigentlich Definitionsbereich, wenn sich doch heraus stellt, dass sich solche Aufgaben grundsätzlich durch Transformation des Definitionsbereichs lösen lassen? "
