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Ich hänge gerade bei einer Aufgabe, bei der ich den Grenzwert: $$ \lim\limits_{x\to\infty} {\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}} $$

berechnen und dabei nicht die Regel von L'Hopital nutzen.

Ich habe mit meiner zugegebenermaßen geringen mathematischen Kreativität schon versucht, die Wurzeln als Potenzen zu schreiben, damit ich dann andere Rechenregeln anwenden kann, um den Term zu vereinfachen, aber irgendwie will einfach kein Licht aufgehen. Ich würde mich riesig freuen wenn mir jemand helfen könnte.

von

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Hallo,

meine Berechnung:

99.gif

von 79 k

besser geht's nicht, knackig verständlich und sauber aufegeschrieben, DANKE! 

Ja gern doch.

nun kannst Du mal sehen, was hier noch alles angeboten wurde und was WIRKLICH hilft

:-)

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Erfinde einen Bruchstrich unter deinem Term.

Schreibe eine 1 darunter.

Erweitere dann mit der 3. binomischen Formel.

Das hilft häufig bei Differenzen von Wurzeln.

Bsp. https://www.mathelounge.de/116959/grenzwert-lim-n-n-3n-n-2n-differenz-von-wurzeln

von 146 k

super vielen dank erstmal für den Gedankenanstoss, ich bin jetzt soweit, dass ich diesen Term hier erhalte daum_equation_1523474317126.png ,  jetzt stehe ich aber wieder da und kann mit dem Term nichts anfangen.. außerdem würde ich gerne wissen ob die Klammern im Zähler richtig sind..

vielen dank schonmal

Oben kannst du die Klammern auflösen und vereinfachen zu

2√(x) .

Dann oben und unten durch √(x) teilen.

Entspricht

√n·(b - a) / (√n·(√(1 - a/√n) + √(1 - b/√n)))
(b - a) / (√(1 - a/√n) + √(1 - b/√n)) 

in der verlinkten Frage.

Dann bleibt oben noch 2

und unten zwei Brüche, in denen du teilweise kürzen kannst.

+1 Punkt

Hallo

 lös die Klammern im Zähler auf und vereinfache, dann dievidiere Z und N durch √x, dann x->oo

Gruß lul

von 16 k
+1 Punkt

  Es gibt da einen Schmuddeltrick, eine verallgemeinerte Inversion.  Leider vergesse ich die Namen der Genies immer wieder;  für das Portal darf ich auch keine Schleichwerbung machen, obgleich es nicht mehr existiert.  Aber ich vermisse wunderbare User.

   Ursprünglich war der Trick sogar für Kubikwurzeln ausgelegt; ich sah mich allerdings gezwungen, ihn weiter zu entwickeln. Es ist die Substitution


      x  ^  r  =  1 /  z  ^  m      (  1a  )


     Dabei ist r  €  |R  ( r muss keines Wegs ganzzahlig sein )  die höchste vorkommende Potenz von x im Radikanden.  Wir haben zur Auswahl  x  ^  1/2  so wie  x  ^  1    ===>   r  =  1

    Und m ist die Ordnung der Wurzel;  m  =  2 für Quadratwurzel:


      x  =  1 / z  ²       (  1b  )

    x  ^ 1/2  =  1 / z       (  1c  )


    Der Sinn dieses ganzen Spielchens ist, dass du im Nenner  z bekommst - wirste gleich durchschauen.  Setzen wir erst mal ein in deine Wurzel


   F  (  z  )  =   sqr  (  1 / z ²  +  1 / z  )  -  sqr  (  1 / z ²  -  1 / z  )      =   (  2a  )


    =  ( 1 / z )  [  sqr  (  1  +  z  )  -  sqr  (  1  -  z  )  ]    (  2b  )


   Aber ( 2b ) ist doch nichts weiter als der Differenzenquotient ( DQ )     der eckigen Klammer


      f  (  z  )  :=  sqr  (  1  +  z  )  -  sqr  (  1  -  z  )     (  3a  )


   genommen zwischen z0  = 0  und der beliebigen Stelle z schlicht und ergreifend, weil  f  ( 0 )   =  0   (  wobei natürlich jetzt der Grenzwert für z gegen Null zu nehmen ist. )  Und dieser Grenzwert, das wisst ihr, gibt  f  '  (  0  )


    f  '  (  z  )  =  1  /  2  sqr  (  1  +  z  )  +  1  /  2  sqr  (  1  -  z  )     (  3b  )


       f  '  0  )  =  1/2  +  1/2  =  1      (  3c  )


   Ein User fragte mich in gespielter Empörung

   " Warum lernen wir eigentlich Definitionsbereich, wenn sich doch heraus stellt, dass sich solche Aufgaben grundsätzlich durch Transformation des Definitionsbereichs lösen lassen? "

von 5,5 k

  Es ist ja nicht an dem, dass ich nicht schweigen könnte.  Aber jetzt wo Lu geantwortet hat, fühle ich mich nicht mehr an mein Schweigegelübde gebunden.

    Diese Metode mit der 3. binomischen haben sie uns auch damals   " gelernt "   - gleich im ersten Semester.  Und es war einer der klügsten Köpfe  ...

   Das muss aber lange vor Erfindung der Differenzialrechnung gewesen sein  ...

    Ich habe dir von der Kubikwurzel gekündet;  hey was machst'n , wenn da auf einmal steht 4 711 . Wurzel ?

   Ich kann mich gut erinnern; das war damals in der Altsteinzeit gewesen, als ich auf Geheiß von Fred Feuerstein die Logaritmen in die Obelisken eingravieren musste  -  sog.  Logaritmenstelen.   Das Babylogaritmische Wachstäfelchen war noch nicht erfunden ...

Auch wenn ich leider zugeben muss, dass ich die Methode noch nicht ganz durchblicke und ich mich morgen noch einmal mit frischem Kopf dransetzen muss kommt das richtige Ergebnis raus.. Also muss ja was dran sein :p

Was du mir mit dem Kommentar zu der Antwort mitteilen möchtest verstehe ich leider null :D

Vielen vielen Dank trotzdem, ich werde mich morgen melden ob ich alles verstanden habe! 

+1 Punkt
IIch denke, dass man auf jeden Fall die dritte binomische Formel benutzen muss. Ich weiß jedoch nicht, was man danach genau machen muss. Umformen, l.H. etc. 

15234780147345226060145993988030.jpg

von

Ja soweit bin ich ja auch in einem obigen Kommentar gekommen, bloss dass im Zähler 2*x^1/2 und nicht x rauskommt und dann hängt es wieder.. aber trotzdem vielen Dank für die Mühe!

+1 Punkt

Grosserloewe meint:

nun kannst Du mal sehen, was hier noch alles angeboten wurde und was WIRKLICH hilft

Na, schauen wir mal, was wir mit den binomischen Formeln sonst noch so anstellen können:

$$ \lim\limits_{x\to\infty} {\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}} \\= \lim\limits_{x\to\infty} {\sqrt{x+\sqrt{x}+\dfrac 14}-\sqrt{x-\sqrt{x}+\dfrac 14}} \\ = \lim\limits_{x\to\infty} {\sqrt{\left(\sqrt{x}+\dfrac 12\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{x}-\dfrac 12\right)^2}} \\ = \lim\limits_{x\to\infty} {\left(\left(\sqrt{x}+\dfrac 12\right)-\left(\sqrt{x}-\dfrac 12\right)\right)} \\ = \lim\limits_{x\to\infty} {\left(\dfrac 12+\dfrac 12\right)} = \lim\limits_{x\to\infty} {1} = 1. $$Oh, schon fertig... :-)
 

von 14 k

Hallo az,

es gibt immer mehrere Wege . Ich habe ja meine Lösung auch extra

ausführlich geschrieben, wenn ich ein paar Zeilen weglassen würde

könnte ich auch sagen:" Oh schon fertig"

:-)

Schon klar, das war nicht sehr ernst gemeint!

ok alles klar :-)

Wie begründest du den Übergang von Zeile 1 auf Zeile 2?

√(30) - √(20)

=√(25 + 5 )  - √(25 - 5)

=√(25 + 5 + 1/4 )  - √(25 - 5 + 1/4)

= √(30.25) - √(20.25)

= 1

Aber: √(30) - √(20) ≈ 1.00508962

+ 1/4 scheint erst für grosse x nicht mehr so relevant zu sein. (?)

Warum darfst du in beiden Wurzeln einfach 1/4 addieren?

Lu merkt an:

Wie begründest du den Übergang von Zeile 1 auf Zeile 2?
(...)
+ 1/4 scheint erst für grosse x nicht mehr so relevant zu sein. (?)
Warum darfst du in beiden Wurzeln einfach 1/4 addieren?

Hallo! Ja, ich dachte mir, solange die Manipulationen im Limes den Limes selbst nicht verändern, kann ich es ja mal versuchen. Natürlich ist der Term im Limes nach dem ersten Schritt nicht mehr gleichwertig zu dem ursprünglichen Term.

ach nee, aber Selbstbewusstsein ohne Ende

:-)

Na, das ist ja zunächst eine Limiten-Gleichung und die steht.

Hallo. Streitet doch nicht. Offensichtlich stimmt das Resultat.

x ist ja viel grösser als 1/4. Daher könnte deine Umformung schon stimmen. Nur: Warum?

Du hast für grosse x eigentlich

 ( unendlich - unendlich)

und das kann irgendwas geben.

Aber vielleicht kannst du bei deinem Rechenweg erst mal √(x) ausklammern?

lim ( √(     ) - √( .....))

= lim (√(x) ( (√( 1 + 1/√(x)) -  √( 1 - 1/√(x)))

An dieser Stelle kann ich aber immer noch nicht begründet quadratisch ergänzen, da √(x) vor der Klammer gegen unendlich geht und die Differenz (auch wenn sie klein ist) für mich unvorhersehbar aufblasen kann.

Für hinreichend große x gilt $$ \lim\limits_{x\to\infty} {\sqrt{x+a+\sqrt{x+b}}-\sqrt{x+c-\sqrt{x+d}}} = 1. $$mit beliebigen Konstanten a, b, c und d.

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