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Hallo, Frage zu folgender Aufgabe: 
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Intuitiv rate ich da einfach einen linear unabhängigen (0,0,1,0), was auch zur Musterlösung (1,1,1,2) passen würde. Aber warum stimmt das eigentlich?

Also Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind ja linear unabhängig, aber hier wäre ja für beide Eigenvektoren λ=0 und damit nicht verschieden?

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Hallo,

da die Dritte Spalte der Matrix = nur Nullen kann man (0,0,1,0) raten, da dieser Vektor nicht parallel zum vorgegebenen ist bilden die beiden eine Basis, denn die Dimension war nur 2 also reichen 2 Vektoren auch aus.

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  Oh reizende Emilie;   du schließt wieder mal in die falsche Richtung -  eine Todsünde in der Matematk.

  "  Der Strom fällt aus  ===>  Das Licht geht aus. "

  "  Das Licht geht aus  ===>    Der Strom fällt aus. "

   "  a und b sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten ===>  Sie sind linear unabhängig. "

   "  a und b sind linear unabhängige Eigenvektoren ===>  Ihre Eigenwerte sind notwendig verschieden. "  Ein Fehlschluss;  Gegenbeispiel: die  von dir so heiß geliebte Nullmatrix.

   Warum ist  ( 0 | 0 | 1 | 0  )  eine nahe liegende Wahl?  Die vier Spalten deiner Matrix  sind die Bilder der kanonischen Basisvektoren;  da  Vektor e3 direkt auf die Null abgebildet wird, liegt er im Kern.

   Ich möchte aber die Gelegenheit ergreifen, einmal das zu tun, was ich hier schon einmal angekündigt habe. Du entsinnst dich;  die Definition der Basis:

   1)  Eindeutig                               Erzeugendes

   2)  Minimales                                       "

   3)                    linear unabhängiges    "

   4)  Maximal         "               "


     Zu Übungszwecken wollen wir beweisen: Deine beiden e1;2  bilden eine Basis des Kerns. Da die vier Kriterien äquivalent sind, würde es ausreichen, nur eines heraus zu greifen. Ich möchte dir aber vorführen, wie sie sich auswirken.

   Was ist das; ein "  Erzeugendes  "  ?  Nun; damit ist genau gemeint


         Kern  (  A  )  =  Spann  (  e1  ;  e2  )       (  1  )


    und Spann kennst du ja schon.  Zunächst die triviale Richtung;  da beide, e1 und e2 im Kern liegen und der Kern ein Vektorraum ist, muss dieser Spann ein Unterraum des Kerns sein.  Jetzt ist aber noch die Umkehrung zu zeigen;  der Kern ist ein Unterraum des Spanns , bzw.  jeder Kernvektor ist darstellbar als Linearkombination ( LK )  der beiden Basisvektoren e1;2 . Diese Überlegung ist nicht trivial; du musst jetzt das  homogene   4 X 4 LGS der Matrix  A  aufstellen.


             4  x  -  2  w  =  0  ===>  w  =  2  x       (  2a  )


   Gleichung  (  2d  ) wiederholt diese Bedingung.


      -  3  x  +  3  y  =  0  ===>  y  =  x             (  2c  )

    x  +  3  y  -  2  w  =  x  (  1  +  3  -  2  *  2  )  =  0    (  2b  )


    Über y erfahren wir nichts, so dass der allgemeine Kernvektor lautet


      v  =  (  x  |  x  |  y  |  2  x  )       (  3a  )


     Damit  ( 3a ) im Spann von e1;2 liegt, musst du ß1;2 so wählen, dass


     v  =  ß1  e1  +  ß2  e2      (  3b  )


    Ob dir der liebe Gott diese Koeffizienten  eingesagt hat, ist völlig egal; ich meine nur. Die korrekte Lösung der Aufgabe: Du schreibst sie ohne Begründung hin.


     ß1  =  x  ;  ß2  =  y        (  3c  )


    Das genügt jetzt so weit für  "  Erzeugendes  "  , aber eben nicht für Basis.   In Unterpunkt 1) war gefordert:  EINDEUTIG Erzeugendes. Damit ist zusätzlich gemeint


   ß1 e1 + ß2 e2 = µ1 e1 + µ2 e2 ===>  ß1;2 = µ1;2    (  4  )


    Mit Komponente 1 , 2 und 4 folgt  ß1 = µ1  ,  mit Komponente 3  ß2 = µ2 .

   Und jetzt Kriterium 2 .  Erzeugendes hatten wir ja schon.  Dein  Erzeugendes enthält die beiden Vektoren e1 und e2;  minimal bedeutet offenbar, dass du auch beide brauchst.  Und dass das so ist, sehen wir ganz einfach ein. Es ist nicht möglich,   e2 als ( skalares ) Vielfaches von e1 zu schreiben.  Das genau müsste nämlich möglich sein, wäre der Spann von e1  bereits der ganze Kern.

   Verblüffend; gell?  Hast du das verstanden?

   Damit entpuppt sich in deinem Fall Kriterium 2  als das mit Abstand einfachste.

     Kriterium 3 stellt auf lineare Unabhängigkeit ab


     k1  e1  +  k2  e2  =  0  ===>  k1;2  =  0     (  5a  )


    Aber  LGS    ( 5a )  ist das Selbe in Grün wie ( 4 )  ;  setze in ( 4 )


       k1  :=  ß1  -  µ1  ;  k2  :=  ß2  -  µ2    (  5b  )


    Unterpunkt 4)  ist der  einzige, der  ( scheinbar  )  keinen Bezug nimmt auf  Erzeugendes  bzw.  Spann.  Ob ein System linear unabhängig  ist, ist schließlich eine  ABSOLUTE    Eigenschaft   und hängt nicht ab von dem speziellen Unterraum ( warum? )

   Doch der teuflische Zusatz, das klein Gedruckte lautet: MAXIMAL linear unabhängig.  Im  |R  ^  4   z.B.   ( den wir hier ja effektiv betrachten;   schließlich  ist  R  ^  4  der Definitionsraum von Matrix  A )    ist { e1 ; e2 }  sicher nicht maximal unabhängig, weil ja eine Basis im R  ^  4  immer vier Vektoren hat.

    Der Herr Lehrer  hat gesagt:  sprich in ganzen Sätzen.

   "   B ist Basis    VON        Kern  ( f )  , wenn es maximal linear  unabhängig ist     IN      Kern.  "   Gemeint

   a)  Zunächst mal müssen e1 und e2  überhaupt einmal Elemente von Kern ( f )  sein  -  wissen wir schon.

    b)    Fügst du dem System einen BELIEBIGEN  dritten Kernvektor v hinzu, wird es abhängig.


     Durch die Hintertür kommt also die Forderung herein, dass wir uns in   ( 3a )  erkundigen müssen nach der Struktur des allgemeinen Kernvektors  v .    Es kriegt bloß ein anderes Schildchen umgehängt;  hier wollen wir v nicht erzeugen,  sondern  fragen, ob das System { e1 ; e2 ; v }  linear abhängig ist.


      ß1  e1  +  ß2  e2  +  ß3  v  =  0     (  6a  )


    Und genau wie oben in ( 3bc ) tritt auch hier wieder  der Alte über den Wolken auf den Plan, der dir die richtige Lösung ins Ohrli sagt -  einer weiteren Begründung bedarf es auch hier nicht.


     ß1  =  x  ;  ß2  =  y  ;  ß3  =  (  -  1  )     (  6b  )


    Wie gefordert ist die LK  nicht trivial  UNABHÄNGIG  von der speziellen Wahl von v ,  weil ja immer  ß3 verschieden von Null.

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Gefragt 9 Jun 2016 von Gast

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