Wie kann man beweisen, dass es Eigenwerte gleich Null gibt, wenn die Matrix nicht vollen Rang hat?

Question

meine Überlegungen bis jetzt: Wenn es einen Eigenwert gleich Null gibt, ist 0 eine Nullstelle des Charakteristischen Polynoms (Es gibt also einen einzelnen Faktor Lambda oder X in dem Polynom).

Und wenn die Matrix nicht vollen Rang hat, entstehen Nullzeilen bei der Gauß umformung, die man allerdings nicht vor der Berechnung des Charaktristischen Polynoms anwenden darf.

Mir fällt gerade nicht ein, wie man das zusammenführen könnte, hat jemand vielleicht einen Tipp?

Answer 1

nun - wenn es nur darum geht zu zeigen, dass es das grundsätzlich gibt, so reicht ein Beispiel. Man nehme eine Matrix mit nicht vollem Rang

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 &2\end{pmatrix}$$

diese hat die Eigenwerte $\lambda_1=0$ und $\lambda_2=3$ und die Eigenvektoren

$$e_1= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \quad e_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Answer 2

wenn  die Matrix A nicht Vollrang hat, dann hat das homogene Gleichungssystem

Ax=0=0*x unendliche viele Lösungen x≠0

Dann ist  0 Definitionsgemäß ein Eigenwert.

Answer 3

Hat die Matrix $A$ nicht den vollen Rang, besteht der Kern von $A$ nicht nur aus dem Nullvektor:

$$Kern(A)\quad =\quad \left\{ v\quad \in \quad { K }^{ n }\quad |\quad Av\quad =\quad 0\quad ,\quad v\quad \neq \quad 0 \right\} \quad \cup \quad \left\{ { 0 }_{ { K }^{ n } } \right\}$$

$(\left\{ v\quad \in \quad { K }^{ n }\quad |\quad Av\quad =\quad 0\quad ,\quad v\quad \neq \quad 0 \right\}$ ist nicht leer)

$v$ sind gerade die Eigenvektoren zum Eigenwert (:= $\lambda$) Null von $A$:

$Av\quad \\ =\quad 0\quad |\quad v\quad \neq \quad 0\\ =\quad \lambda v\quad \rightarrow \quad \lambda \quad =\quad 0\quad \quad$

Answer 4

  Ich habe hier schon verschiedentlich erklärt,  vielen Studenten sei noch nicht klar, dass - rein von der Definition her  -  der Kern einer Matrix ihr Eigenraum zum Eigenwert  Null ist. Darauf hin bellte mich ein Kommentar an;  wer dies immer noch nicht wisse, dem sei nicht zu helfen, der sei eh plem.

   Urteile selbst, wer Recht hat.  Ich mit meinem Pessimismus oder der mit seinem sonnigen Humor ...