Lineares Gleichungssystem/Funktion aus GRaph ableiten

Question

Lineares Gleichungssystem/Funktion aus GRaph ableiten

2 Antworten

Beste Antwort

Hallo beniss,

es ist das LGS $A$. Es sind offensichtlich die zwei Punkte $(-2|-2)$ und $(2|2)$ gegeben, durch die die Straße verlaufen soll und in beiden Punkten soll die Steigung von $2$ eingehalten werden. Das macht vier Bedingungen:

$$\begin{aligned} f(2) &= 2 \\ f(-2) &=-2 \\ f'(2) &= 2 \\ f'(-2) &= 2\end{aligned}$$ setzte diese in das kubische Polynom

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ ein, und Du erhältst das LGS $A$.

Nachtrag: die Funktion für das Zwischenstück lautet: $f(x)=\frac18 x^3 + \frac12 x$

~plot~ (x^3/8+x/2)*(x>-2)*(x<2)+(2x+2)*(x<-2) +(2x-2)*(x>2);{2|2};{-2|-2} ~plot~

2. Nachtrag: im Grunde sind auch die anderen LGSe $B$ bis $D$ geeignet. Es kommt darauf an, was man unter 'am besten' versteht. Bei den Trassierungsaufgaben kommt es i.A. auch darauf an, dass man in dem Übergang von Polynom zu geradem Straßenstück einen Krümmungsruckfreien Übergang gestaltet. D.h. dass in den Anschlusspunkten auch die Krümmung 0 sein muss, wenn eine Gerade folgt. Das erreichst Du hier aber nur, mit einem Polynom 5.Grades. Gleichzeitig kann man sich die Punktsymmetrie zu nutze machen, folglich kann man alle Koeffizienten mit geraden Exponenten zu 0 setzen. Es bleibt:

$$f(x) = ax^5 + bx^3 + cx$$

Mit den drei Bedingungen

$$\begin{aligned} f(2) &= 2 \\ f'(2) &= 2 \\ f''(2) &= 0 \end{aligned}$$ lautet das LGS

$$\begin{pmatrix}32& 8& 2\\ 80& 12& 1\\ 160& 12& 0\end{pmatrix} \cdot \alpha = \begin{pmatrix}2\\ 2\\ 0\end{pmatrix}$$ und das ist das LGS $B$ mit der Lösung

$$f(x)=\frac{-3}{128}x^5 + \frac{5}{16}x^3 + \frac{1}{8}x$$

~plot~ ((-3)(x^5)/128+5*(x^3)/16+(x/8))*(x>-2)*(x<2)+(2x+2)*(x<-2) +(2x-2)*(x>2);{2|2};{-2|-2} ~plot~

Beantwortet 17 Apr 2018 von Werner-Salomon

Hallo beniss,

die Aufgabe ist ein bißchen gemein, weil irgendwie alle vier 'stimmen'. Die Frage nach dem besten bedeutet auch, dass Du beurteilen sollst, wann so ein Verlauf für eine Straße gut oder weniger gut ist. $A$ und$D$ führen auf die gleiche Lösung, nur dass in $D$ bereits die Bedingung nach der Punktsymmetrie enthalten ist.

Die Lösung $C$ verbindet auch beide Straßenstücke. Das sähe dann so aus:

~plot~ (x^3/4)*(x>-2)*(x<2)+(2x+2)*(x<-2) +(2x-2)*(x>2);{2|2};{-2|-2} ~plot~

... ist aber nicht so gut - oder?

Ja - und die Unterschiede zwischen $A$ und $B$ habe ich oben beschrieben. Und $B$ ist besser als $A$, weil bei $B$ die Krümungsruckfreiheit in den Anschlusspunkten gewährleistet ist, im Gegensatz zu $A$.

Kommentiert 17 Apr 2018 von Werner-Salomon

Ich muss ja hierbei dieser Aufgabe nicht die geg. LGS herleiten, sondern aus den LGS erst mal alle Funktionsgleichungen ableiten und dann z.B. mithilfe Punktprobe/Skizze zeigen, dass B am besten ist.

Auf Grund der Tatsache, dass Ihr das bisher nur mit Polynomen gemacht habt und Du davon ausgehen kannst, dass die Reihenfolge der Spalten immer die der absteigenden Potenzen ist, kannst Du aus einer Zeile wie

$$\left( \begin{array}{cccc|c} 8 & 4 & 2 & 1 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc|c} 2^3 & 2^2 & 2^1 & 2^0 & 2 \end{array} \right)$$ schließen, dass das aus

$$f(2) = a \cdot 2^3 + b \cdot 2^2 + c \cdot 2^1 + d = 2$$ folgt. Die Bedingung ist also $f(2)=2$. Bei

$$\left( \begin{array}{ccc|c} 32 & 8 & 2 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc|c} 2^5 & 2^3 & 2^1 & 2 \end{array} \right)$$ ist das schon schwieriger. Aber ich denke, mit Blick auf die Skizze ist auch hier die Bedingung $f(2)=2$ die erste Wahl, und dann lautet die Vorgabe für die Funktion eben

$$f(x) = a \cdot x^5 + b \cdot x^3 + c\cdot x$$ das passt dann auch zu der dritten Zeile

$$\left( \begin{array}{ccc|c} 160 & 12 & 0 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc|c} 20\cdot 2^3 & 6 \cdot 2^1 & 0 & 0 \end{array} \right)$$ welches die zweite Ableitung an der Stelle $f''(2)=0$ beschreibt - mit

$$f''(x)= 20 x^3 + 6 x$$

Wenn Du dann so für jeden der Fälle $A$ bis $D$ alle Bedingungen aufgeschrieben hast, kannst Du entscheiden, welche relevant und/oder besser als andere sind.

Gruß Werner

Kommentiert 17 Apr 2018 von Werner-Salomon

Hallo benis³,

Durch welche Bedingungen kommt man auf das LGS-C? Oder passt das GAR nicht zur Funktion?

Das LGS $C$ sieht so aus:

$$\left( \begin{array}{ccc|c} 2^3 & 2^2 & 2^1 & 2 \\ -2^3 & -2^2 & -2^1 & -2 \\0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$ aus den ersten beiden Zeilen kann man schließen, dass der Ersteller, davon ausgegangen ist das $f(0)=0$ ist (1. Bedingung), somit entfällt bereits der Koeffizient ohne $x$. Der Ansatz für dieses LGS war dann wohl:

$$f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x$$ Und die ersten beiden Gleichungen folgen wie oben aus den beiden Bedingungen $f(2)=2$ und $f(-2)=-2$ (2.+3. Bedingung). Die dritte Zeile muss dann für $x=0$ gelten, und da könnte man ja annehmen, das die Steigung =0 ist - also

$$f'(x)= 3a_3 x^2 + 2a_2 x + a_1$$ mit $f'(0)=0$ (4.Bedingung) - ob das sinnvoll ist oder nicht! Die fertige Funktion hieße dann:

$$f(x) = \frac14 x^3$$ wie schon oben im Kommentar erwähnt (steht da doch schon alles!)

Gruß Werner

Kommentiert 19 Apr 2018 von Werner-Salomon

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Lineares Gleichungssystem/Funktion aus GRaph ableiten

2 Antworten

Ähnliche Fragen

Eingabetools:

Beliebte Fragen:

Heiße Lounge-Fragen: