Beweise ,dass L(A,b) = L(A,b) gilt

Question

Aufgabe:

Seien K ein Körper, m, n ∈ ℕ_≥1 , A, A' ∈ M_m,n(K) und b,b' ∈ K^m gegeben. Weiter sei (A',b') aus (A,b) durch endlich viele elementare Zeilenumformungen hervorgegangen. Beweisen Sie , dass L(A,b) = L(A',b') gilt.

Problem/Ansatz:

Verstehe nicht , wie ich auf den beweisen kommen soll :(

Hat jemand eventuell eine Idee ?...

Comments

Welche elementaren Zeilenumformungen kennst du denn?

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Du brauchst doch nur zu argumentieren, dass eine Zeilenumformung

die Lösungsmenge nicht ändert.

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Vom Duplikat:

Titel: Lineare Gleichungssysteme Lösungsmenge Beweis

Stichworte: lineare-gleichungssysteme,lösungsmenge

Text erkannt:

Hausaufgabe 5.1 Beweis von Lemma 3.4 .7 (30 Punkte) Seien \( K \) ein Körper, \( m, n \in \mathbb{N}_{\geq 1}, A, A^{\prime} \in \mathscr{M}_{m, n}(K) \) und \( b, b^{\prime} \in K^{m} \) gegeben. Weiter sei \( \left(A^{\prime}, b^{\prime}\right) \)
aus \( (A, b) \) durch endlich viele elementare Zeilenumformungen hervorgegangen. Beweisen Sie \( \operatorname{dass} \mathscr{L}(A, b)=\mathscr{L}\left(A^{\prime}, b^{\prime}\right) \) gilt.
Hausaufgabe 5.2 Lineare Gleichungssysteme (40 Punkte)

Kann mir jemand bitte zum Verständnis einen kleinschrittigen Beweis schreiben? Ich muss das verstehen :)

Vielen Dank schonmal und viele Grüße!

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Vom Duplikat:

Titel: Beweis von Lemma L(A,b) Elementare Zeilenumformungen

Stichworte: matrix,körper,matrizen

Text erkannt:

Hausaufgabe 5.1 Beweis von Lemma 3.4 .7 (30 Punkte) Seien \( K \) ein Körper, \( m, n \in \mathbb{N}_{\geq 1}, A, A^{\prime} \in \mathscr{M}_{m, n}(K) \) und \( b, b^{\prime} \in K^{m} \) gegeben. Weiter sei \( \left(A^{\prime}, b^{\prime}\right) \)
aus \( (A, b) \) durch endlich viele elementare Zeilenumformungen hervorgegangen. Beweisen Sie \( \operatorname{dass} \mathscr{L}(A, b)=\mathscr{L}\left(A^{\prime}, b^{\prime}\right) \) gilt.
Hausaufgabe 5.2 Lineare Gleichungssysteme (40 Punkte)

Kann mir jemand bitte zum Verständnis einen Beweis zu 5.1 schreiben? Das wär sehr lieb.

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Lieber mathef,

könnten Sie das bitte einmal vormachen? Das wäre sehr lieb und würde unserem Verständnis sehr entgegenkommen. Ihre Formulierungen helfen sehr die Sachverhalte zu verstehen.

:)

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Vermutlich habt ihr ja 3 elementare Umformungen definiert:

Multiplizieren einer Gleichung mit einem Faktor k≠0.

Um zu zeigen, dass dadurch die Lösungsmenge der Gleichung

nicht geändert wird, kann man wohl so vorgehen:

Die Gleichung ist a1x1 + a2x2 + … + anxn = b

                         <=>   a1x1 + a2x2 + … + anxn - b = 0   #

die multiplizierte ist k*(a1x1 + a2x2 + … + anxn) = k*b

                              <=> k*(a1x1 + a2x2 + … + anxn) - k*b = 0

                              <=> k* (  a1x1 + a2x2 + … + anxn - b) = 0

                             <=>  k=0 oder   a1x1 + a2x2 + … + anxn - b = 0 ##

Wegen k≠0 sieht man:  # ist genau dann erfüllt, wenn ## erfüllt ist.

Und weil die anderen Gleichungen des Systems nicht verändert

wurden, bleibt auch die Lösungsmenge des ganzen Systems gleich.

etc.