Wie berechnet man die Umkehrfunktion von der Funktion y = arccos(√(1-ex))

Question

Ich wollte wissen, wie man vorgehen muss, um die Umkehrfunktion von $$y= arccos (\sqrt { 1-{ e }^{ x } })$$ zu berechnen..

Hab es versucht, aber kriege leider x = ln(-cos(x)+1) heraus.

Answer 1

y = arccos √ ( 1− e ^x )
x und y tauischen
x = arccos √ ( 1− e ^y )  | cos ()
cos ( x ) = √ ( 1− e ^y ) | quadrieren
[ cos ( x ) ] ² = 1− e ^y
e ^y = 1 - [ cos ( x ) ] ²  | ln
ln ( e ^y ) = ln ( )
y * ln ( e ) = ln ( 1 - [ cos ( x ) ] ² )
y ( x ) = ln ( 1 - [ cos ( x ) ] ² )

Comments

Wieso steht da ln ( e y ) = ln ( ) bei ln()

Ich wollte nur wissen, wieso da das freigelassen wurde.

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Beispiel
ln ( 3 ² ) = ln ( 3 * 3 ) = ln ( 3 ) + ln ( 3 ) = 2 * ln ( 3 )
ln ( 3 ² ) = 2 * ln ( 3 )

Allgemein

ln ( a  ^b )= b * ln ( a )

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Der Definitionsbereich von arccos ist doch 1 -1.

 Und von Wurzel(1-e^x)??

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Steht in deiner Frage irgendetwas von  :
bestimme den Def- oder Wertebereich ?

Was willst du wissen ?

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Nee, aber eig hätte das dazugehört: maximalen Definitionsbereich und Definitionsbereich der Umkehrfunktion.

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Muß ich noch etwas überlegen

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Hier meine Berechnungen

 

Der Graph

Der Definitionsbereich der Funktion ist gleich dem
Wertebreich der Umkehrfunktion.
Der Wertebereich der Funktion ist gleich dem
Definitionsbreich der Umkehrfunktion.

f ^-x
D = 0.. π/2
W = x ≤ 0

Answer 2

1.) nach x auflösen

2. x und y vertauschen

y=arc cos(√(1 -e^x))

cos(y)= √(1 - e^x) |(..)²

cos²(y)= 1 - e^x

cos²(y) - 1= - e^x |*(-1)

1 -cos²(y)  =e^x |ln(..)

ln(1 -cos²(y))= x

2.)

ln(1 -cos²(x))= y

Answer 3

Umformen cos(y)=√(1-e^x). Quadrieren cos²(y)=1-e^x. Minus 1 auf beiden Seiten  cos²(y)-1=-e^x. Mal -1 1-cos²(y)=e^x. Umformen sin²(y)=e^x. Logarithmieren 2(ln(sin(y)))=x.   x und y vertauschen: y=2(ln(sin(x))).

Answer 4

überlege dir zuerst Definitions und Wertebereich der Funktion.

Der Arccos ist nur im Bereich [-1,1] definiert.

Es gilt also -1<=√(1-e^x)<=1

Da die Wurzel stets positiv ist, bleibt

0<=√(1-e^x)<=1

und damit x ∈(-∞,0]

Es ist arccos(1)=arccos(√(1-e^-∞))=0 und arccos(0)=arccos(√(1-e⁰))=π/2

Dazwischen verläuft die Funktion monoton.

Also ist der Wertebereich y∈(0,π/2] .

Umkehrfunktion berechnet sich nach Schema x:

y=arccos(√(1-e^x))

cos(y)=√(1-e^x)

cos²(y)=1-e^x

 1-cos²(y)=e^x

ln( 1-cos²(y))=x

x und y vertauschen

ln( 1-cos²(x))=y

Der Definitions und Wertebereich der Umkehrfunktion ergibt sich durch Vertauschen des Definitions und Wertebereich der Ausgangsfunktion.

Comments

Also muss man Werte und Definitionsbereich vertauschen(also Wertebereich ist dann der alte Definitionsbereich und der Definitionsbreich der alte Wertebereich?

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Genau !

Fülltext