cos(x) mit Taylorformel bis zur n-ten Potenz entwickeln

Question

Ich soll den cos(x) an der Stelle 0 mit der Taylorformel bis zur n-ten Potenz entwickeln. Wie funktioniert das?

Comments

Mit der in der Vorlesung mitgeteilten Formel. Selber erfinden sollst Du nichts.

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oder mit Hilfe einer Formelsammlung.

Answer 1

also du nutzt die Taylor Formel und entwickelst daraus die Funktion. D.h:

Berechne bis zur n-ten Ableitung, (rechne also einfach mal 5 Ableitungen des Cosinus aus.) Dann setzt du das zusammen mit dem Entwicklungspunkt in die Taylorreihe ein

Beispiel:

Taylorreihe von cos(x)

$$f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}\left(x-x_0\right)^i$$

Dein $x_0 = 0$ als der Entwicklungspunkt ist 0

$$f(x)=\frac{f^{(0)}(0)}{0!}(x)^0+\frac{f^{(1)}(0)}{1!}(x)^1+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}(x)^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}(x)^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}(x)^4+...$$

Jetzt die Ableitungen einsetzen mit dem Punkt $x_0 = 0$

f = cos

f' = -sin

f'' = -cos

f''' = sin

f⁴ = cos

f⁵ = -sin

AiO Taylorreihe des Cosinus:

$$f(x)=\frac{cos(0)}{0!}(x)^0+\frac{-sin(0)}{1!}(x)^1+\frac{-cos(0)}{2!}(x)^2+\frac{sin(0)}{3!}(x)^3+\frac{cos(0)}{4!}(x)^4+...$$

$$f(x)=1-\frac{1}{2!}(x)^2+\frac{1}{4!}(x)^4+...$$

Das ist alles :)

Fertig!