Das zweite (ii) ist irgendwie Banane.
Die Äquivalenz von (i) und (ii) geht wohl so:
Sei f Injektiv und seien A,B Teilmengen von X.
Sei y ∈ f(A) \ f(B) , also y ∈ f(A) und y ∉ f(B). #
==> Es gibt x ∈ A mit f(x) = y .
Wäre x ∈ B , dann wäre y ∈ f(B) im Widerspruch zu #.
Also gilt also x ∈ A \ B und damit y ∈ f ( A \ B ).
umgekehrt: Sei y ∈ f ( A \ B ).
==> Es gibt x ∈ A \ B mit f(x) = y.
==> x ∈ A und x ∉ B
==> y ∈ f(A) .
Wegen der Injektivität von f gibt es kein anderes x2 mit f(x2)=y ,
also erst recht kein x2 ∈ B mit f(x2) = y. Also gilt y ∉ f(B)
und damit y ∉ f(A) \ f(B) .
Andere Richtung:
Für alleTeilmengen A, B c X gilt: f(A) \ f(B) = f(A \B). ##
Und seien x1,x2 ∈ X mit y:=f(x1)=f(x2) .
Mit A={x1} und B={x2}, also
f(A)={y} und f(B)={y} (Eindeutigkeit der Abbildung)
folgt aus ## f(A) \ f(B) = f(A \B)
<=> {y} \ {y } = f( {x1} \ {x2} )
also {x1} \ {x2} = ∅. Und da {x1} und {x2} beide
einelementig sind, folgt also x1=x2 .
Aus f(x1)=f(x2) folgt also x1=x2 ,
d.h. f ist Injektiv.
