Hallo limo,
a)
Damit habe ich mich gestern noch auseinandergesetzt. Ich versuche es mal:$$\frac{n!}{(n-2)!}$$ Du kannst das ganze jetzt erweitern mit:$$n!=n\cdot(n-1)!$$ Das sieht dann so aus:$$\frac{n\cdot (n-1)\cdot(n-2)!}{(n-2)!}$$ Ein geschultes Auge sieht jetzt, dass wir den Bruch kürzen können:$$n\cdot (n-1)$$ Du kannst sogar die Klammer noch lösen:$$n^2-n$$
b)$$\frac{(2n+1)!}{10n(2n+1)}$$ Hier würde ich erstmal unten die Klammer lösen:$$\frac{(2n+1)!}{20n^2+10n}$$ Ich sehe hier nach längerem Nachdenken auch keine Möglichkeit mehr
c)$$n!+(n+1)!$$ Hier kannst du wieder die Fakultät erweitern wie oben:$$n!+(n+1)\cdot n!$$ Du kannst nun faktorisieren:$$n!\cdot (1+n+1)$$ Addiere einfach die beiden Zahlen in den Parantheses:$$n!\cdot (2+n)$$
d)$$(n+1)!-n!$$ Hier kannst du wieder erweitern:$$(n+1)\cdot n!-n!$$ Hier siehst du wieder, dass du faktorisieren kannst, oder nicht?$$n!\cdot(n+1-1)$$ 1-1=0, das heißt:$$n!\cdot n$$
e)$$\frac{2n}{n+1}\cdot \frac{n^2-1}{n!}$$ Das ist eine wahre Herausforderung. Ich werde mich anstrengen. Ich erkenne aber sofort die dritte Binomische Formel, du auch?$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ Das auf das Beispiel bezogen:$$\frac{2n}{n+1}\cdot \frac{(n-1)\cdot (n+1)}{n!}$$ Unten kannst du wie immer die Fakultät erweitern (gähn):$$\frac{2n}{n+1}\cdot \frac{(n-1)\cdot (n+1)}{n\cdot (n-1)}$$ Wieder dasselbe:$$\frac{2n}{n+1}\cdot \frac{(n-1)\cdot (n+1)}{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)!}$$ Siehst du was wieder wegkann?$$2\cdot \frac{ (n+1)}{n\cdot (n-2)!}$$$$2\cdot \frac{ (n+1)}{n\cdot (n-2)!}$$ weiter komme ich hier auch nicht.
