Rechnen mit Fakultäten - Mehrere Fehler innerhalb einer Aufgabe.

Question

Rechnen mit Fakultäten.

Es sind mehrer Aufgaben, ihr braucht aber nicht alle zu lösen, vielleicht erkennt ihr irgendwo einen sich wiederholenden Fehler und mir wäre damit schon riesig geholfen.

8. Vereinfache

c) $\frac{n!}{(n-2)!}$

Meine Lösung: Keine Lösung
Buch Lösung: n(n-1)

d) $\frac{(2n+1)!}{10n(2n+1)}$

Meine Lösung: 2n! / 10n
Buch Lösung: (2n-1)! / 5

e) $n! + (n+1)!$

Meine Lösung: Keinen Ansatz.
Buch Lösung: (n+2)*n!

f) $(n+1)! - n!$

Meine Lösung: 4 (Wenn n=3) Aber allgemein keine Lösung gefunden.
Buch Lösung: n*n!

g) $\frac{(2n)}{(n+1)}*\frac{{n}^{2}-1}{n!}$

Meine Lösung: (3n^{2} - 2) / (n-1)! (n+1)
Buch Lösung: 2 / (n-2)!

h) $\frac{1}{n!}-\frac{{1}}{(n+1)!}$

Meine Lösung: 1/(n+1)! n!
Buch Lösung: n / (n+1)!

Answer 1

Hallo limo,

a)

Damit habe ich mich gestern noch auseinandergesetzt. Ich versuche es mal:$$\frac{n!}{(n-2)!}$$ Du kannst das ganze jetzt erweitern mit:$$n!=n\cdot(n-1)!$$ Das sieht dann so aus:$$\frac{n\cdot (n-1)\cdot(n-2)!}{(n-2)!}$$ Ein geschultes Auge sieht jetzt, dass wir den Bruch kürzen können:$$n\cdot (n-1)$$ Du kannst sogar die Klammer noch lösen:$$n^2-n$$

b)$$\frac{(2n+1)!}{10n(2n+1)}$$ Hier würde ich erstmal unten die Klammer lösen:$$\frac{(2n+1)!}{20n^2+10n}$$ Ich sehe hier nach längerem Nachdenken auch keine Möglichkeit mehr

c)$$n!+(n+1)!$$ Hier kannst du wieder die Fakultät erweitern wie oben:$$n!+(n+1)\cdot n!$$ Du kannst nun faktorisieren:$$n!\cdot (1+n+1)$$ Addiere einfach die beiden Zahlen in den Parantheses:$$n!\cdot (2+n)$$

d)$$(n+1)!-n!$$ Hier kannst du wieder erweitern:$$(n+1)\cdot n!-n!$$ Hier siehst du wieder, dass du faktorisieren kannst, oder nicht?$$n!\cdot(n+1-1)$$ 1-1=0, das heißt:$$n!\cdot n$$

e)$$\frac{2n}{n+1}\cdot \frac{n^2-1}{n!}$$ Das ist eine wahre Herausforderung. Ich werde mich anstrengen. Ich erkenne aber sofort die dritte Binomische Formel, du auch?$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ Das auf das Beispiel bezogen:$$\frac{2n}{n+1}\cdot \frac{(n-1)\cdot (n+1)}{n!}$$ Unten kannst du wie immer die Fakultät erweitern (gähn):$$\frac{2n}{n+1}\cdot \frac{(n-1)\cdot (n+1)}{n\cdot (n-1)}$$ Wieder dasselbe:$$\frac{2n}{n+1}\cdot \frac{(n-1)\cdot (n+1)}{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)!}$$ Siehst du was wieder wegkann?$$2\cdot \frac{ (n+1)}{n\cdot (n-2)!}$$$$2\cdot \frac{ (n+1)}{n\cdot (n-2)!}$$ weiter komme ich hier auch nicht.

Answer 2

z.B.

f) (n+1)!−n!

allgemein: (n+1) ! = (n+1) *n!

=(n+1) *n! - n!

=n! (n+1 -1)

=n! *n

--------------------------------------------------------

e) n!+(n+1)!

=n! + (n+1) *n!

= n! (n+1 +1)

=n! ( n+2)

Answer 3

Bei c) kannst du ja für den Zähler schreiben:

n! = n*(n-1)*n-2) ...

Alles, was nach (n-1) kommt, also (n-2)*(n-3) ... ist gleich (n-2)!

Das kannst du dann mit dem Nenner kürzen und es bleibt im Zähler n*(n-1) stehen.

Bei f) kannst du n! ausklammern: n![(n+1)-1] = n!*n

Answer 4

Zu c) Alle Faktoren von 1 bis n-2 sind in Zähler und Nenner enthalten und kürzen sich raus, Bleiben im Zähler n und n-1 als Faktoren stehen.

Allgemein) Überlege, welche Faktorwn sich herauskürzen.