Durchstoßpunkt D der Normale n mit der Ebene E

Question

ich stehe vor folgendem Problem:

Die Gleichung x= (1, 0, 0) + t*(2, 3, 1) sei die Gleichung einer Normalen n  einer durch P(1,1,1) gehenden Ebene E. Berechnen Sie den Durchstoßpunkt D der Normalen n mit der Ebene E.

Ich finde hier echt keinen Ansatz. Das größte wozu ich im Stande war ist folgende Gleichung aufzustellen.

x1=1+2t

x2=3t

x3=1t

Aber irgendwie fehlt mir die "Gleichung" der Ebene E um weiter voranzukommen.

Answer 1

Von der Ebene ist ein Punkt \(P(1;1;1)\) und der Normalenvektor \((2;3;1)\) gegeben. Folglich kann man die Normalenform bereits hinschreiben:

$$E: \space \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 1\end{pmatrix} \cdot x = \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}=6$$

Der Durchstoßpunkt muss sowohl in der Ebene als auch auf der Geraden liegen. Folglich muss er beide Gleichungen erfüllen. Man kann also die Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen:

$$\begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 1\end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + t_D \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 1\end{pmatrix}\right) = 6 \quad \Rightarrow 2 + 14 t_D = 6 \quad t_D=\frac27 $$ Einsetzen in die Geradengleichung gibt den Durchstoßpunkt \(D\)

$$D = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} +\frac27 \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 1\end{pmatrix} = \frac17 \begin{pmatrix} 11\\ 6\\ 2\end{pmatrix} $$

Die Szene im Geoknecht3D zeigt, dass das Ergebnis sinnvoll ist:

(klick auf das Bild)

Answer 2

   Kannst du schon Differenzialrechnung?  Ich selbst gehe immer über den  ===>  Gradienten.  Der Gradient gibt immer die Richtung des steilsten Anstiegs und steht senkrecht auf einem Höhenlinienprofil bzw.  ===>   Äquipotenzialflächen.

    Gehe mal aus von einer Ebenenschar

      E  (  x  ;  y  ;  z  )  =  a  x  +  b  y  +  c  z  =  const       (  1  )

      Dann ergibt sich der Gradientenvektor durch partielles Differenzieren

     grad  (  E  )  =  [ ( dE/dx ) | ( dE/dy ) | ( dE/dz ) ]     =  (  2a  )

      =  (  a  |  b  |  c  )       (  2b  )

     Deine Ebene hat somit Gleichung

        2  x  +  3  y  +  z  =  const        (  3a  )

    Im Grunde handelt es sich um ein ===>  Anfangswertproblem;  der Startpunkt P0  ist vorgegeben.

      2  +  3  +  1  =  6  =  const        (  3b  )

     2  x  +  3  y  +  z  =  6     (  3c  )

    Jetzt die Gerade einsetzen in  (  3c  )

    2 ( 1 +  2 t ) + 9 t + t = 6  ===>  t = 2/7     (  4  )