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Ich habe eine Frage zu den Dualräumen.

Es ist n ∈ ℕ und V sei der reelle Vektorraum der Polynome und deg<= n. Weiter ist y ∈ ℝ und fy: V->ℝ  ist die Abbildung, die ein Polynom p(x) auf p(y) abbildet und gy: V->V  die Abbildung, die ein Polynom p(x) -> p(x-y) abbildet.

Nun soll ich folgendes zeigen:

1. Wenn y0,...yn paarweise verschiedene reelle Zahlen sind, dann bilden die Vektoren fy0,...fyn eine Basis des Dualraums V*

2. Es gilt (gy1)*(fy2)=fy2-y1 für alle y1,y2 ∈ ℝ, wobei (gy1)*: V*->V* die duale Abbildung zu gy1 beschreibt.

Kann mir jemand weiterhelfen und nochmal erklären, was genau ein Dualraum ist? Wir haben das in der Vorlesung nur sehr kurz und kompliziert aufgeschrieben.

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   Glücklicher Weise trifft es sich, dass ich vor allem im Job ( als nummerischer Programmierer in einem Welt-Elektronikkonzern ) mit ===>  Lagrangepolynomen in Berührung kam. Snst würde ich diese kryptischen Formulierungen gar nicht durchschauen. Aber fangen wir vorne an.

    Was ist ein Polynom?  Bestimmt keine Funktion; mein hoch verehelichter Prof.   " Lothar "  wusste da immer ein so herrliches Beispiel.  Das Polynom


        p  €  F2  [  x  ]  :=  x  ²  +  x       (  1a  )


     ist sicher nicht das Nullpolynom, da es ja vom  2. Grade ist.    Wir wollen aber stets im Hinterkopf behalten: F2 ist der  ===>  Restklassenkörper mod  2  ===>  Schaltkörper.    Seine  ===>  Charakteristik ist  2


          1  +  1  =  0           (  1b  )


      Dann folgt aber  aus  (  1ab  )


     p  (  0  )  =  p  (  1  )  =  0           (   1c  )


    Oha;  Polynom  p  induziert die Nullabbildung.  Ich meine nur;  du musst sorgfältig unterscheiden  zwischen dem abstrakten Polynom an und für sich  und der Zuordnung, die sich ergibt,  wenn  du für die Variable x  konkrete Zahlen einsetzt.  Die  Dimension der Algebra    F2  [  x  ]    über F2  beträgt Aleph_0 = ( abzählbar  )   unendlich;  dagegen Abbildungen von F2 nach F2   gibt es nur 4 Stück.

   Ich sage immer im Spaß

   "  Ein Polynom ist keine Funktion, sondern eine Schablone zum Drucken von Falschgeld. "

    Ein Polynom bedarf nämlich keines Definitionsbereichs; es frisst alles, was sich addieren und multiplizieren  lässt. Nicht nur Zahlen, sondern auch Matrizen vom format 4 711 X 4 711 ...

   Ja selbst Dinge, die heute noch gar nicht entdeckt sind. Das wäre mir ein schöner Definitionsbereich

   " Alles, was noch nicht entdeckt ist ... "

   Und? Was bedeutet eigentlich die Variable  "  x  "  in  der Definition eines Polynoms?

      GAAAR NICHTS .

     Bist du nicht asiatisch gebildet?

   " Die vornehmste Meditation ist die über das Nichts ... "

   Schau dir das Ganze mal an im v.d. Waerden,  noch besser dem Otto_Haupt_Skript.    Hinter einem Polynom verbirgt sich weiter nichts als eine ( endliche =) Folge;  hey hast du das schon gewusst?  Dieses  x dient allein Mnemotechnischen Zwecken. Z.B. das Einsetzen von Variablen für dieses x wird dann eingeführt  als ===>  Homomorphismus  von dem ( abstrakten ) Polynomring in den eigentlichen Definitionsbereich.  Auf diesem Wege ist die Welt wieder in Ordnung; müssteste dir mal ansehen.   Also die Aufgabe setzt definitiv voraus, dass du davon schon mal gehört hast.

   In "  Dualraum "  bin ich absolut Spitze;   Ich führ jetzt am besten die ===>  Diracsche ===>  Bracketnotation ein.   Ansonsten schau nochmal im Kowalski oder Greub.

   Die Vektoren von V  :=  |R  ^ n  (  z.B. kanonische Basis  )  will ich notieren als Ketvektoren


        |  i  >     ;  i  =  1  ,  ... ,  n           (  2a  )


    Der Dualraum V * wird jetzt eingeführt als Menge aller linearen Abbildungen von V in Grundkörper  K  (  hier: |R  )  Es stellt sich heraus, dass V * eben Falls  Dimension n hat;  die Elemente von V *   wollen wir als  "  Bra  "  <  j  |  notieren. Das Prinzip hinter dieser Abbildung wird sofort klar, wenn ich diese Bravektoren speziell so wähle, dass


       <  i  |  j  >  =  DELTA (  i  ;  j  )       (  2b  )


     Mit  DELTA  = Kronecker  DELTA  (  Wenn V *   ALLE  Abbildungen enthalten soll, muss es stets möglich sein, ( 2b ) zu befriedigen. )   Und den Klammerausdruck auf der linken Seite von ( 2b )  bezeichnen wir sinniger Weise als " Bracket  "

   So weit leben V und V * erst  mal beziehungslos nebeneinander her. Die Erfindung des Skalarprodukts beruht aber gerade darauf,  dass du jedem  | x >  €  V   umkehrbar eindeutig einen Bildvektor  <  x  |  aus  V  *  zuordnest. Du begreifst das sofort, wenn du einmal bedenkst, dass das Skalarprodukt ein Vektorenpaar abbildet nach |R .

   Ich muss schon sagen;  dein Prof hat sich alle Mühe gegeben, diese Aufgabe gschlampert abzufassen - alle Achtung.  Das fängt bereits damit an,   dass er abstrakte Polynome mit x notiert;  p ( x )  .   Sowas vermeiden nun wirklich alle Textbücher;  richtig müsste es heißen


       p  €  |R  [  x  ]       (  3a  )


    Allen Falls  würde ich noch  p_x   tolerieren.


    <<   Wenn y0,...yn paarweise

    <<   verschiedene reelle Zahlen sind


     WELCHE  Paare gehen miteinander ins Bett?  Bitte was soll das heißen ;  "  Paar weise verschieden "   ?   Ein Ausdruck aus der matematischen Rumpelkammer, als die Mengenlehre noch nicht erfunden war  ...   Professionell müsste da stehen:  Gegeben sei eine ( endliche )  Teilmenge von |R


      M  :=  {  x0  ,  ...  x_n  }      (  3b  )


    ( Der Mengenbegriff leistet sogar das Verlangte, dass hier keiner doppelt  gemoppelt wird. )

    Kommt  "  Weird  "  von  Verwirren?  Haach ich bin heute wieder ein Schelm ...    Mit zu seiner  "  Strategy of se weirding "   gehört nämlich, dass er die Elemente von ( 3b )  mit y kennzeichnet, so als handle es sich um Ordinatenpunkte.  Nein - gemeint sind die  ===>  Knoten eines Polynoms, daher unbedingt  "  x   "

   Kein Standardwerk  der nummerischen Matematik würde hier den Dualraum oder obigen Homomorphismus einführen -  weil es nämlich nix bringt.  Aber es ist nunmal, wie es ist. Dem Dualraum  V *  entspricht hier die Knotenmenge ( 3b )  ; analog   (  2b  )  fragen wir nach der Existenz von Polynomen


     p_i  (  x_j  )  =  DELTA  (  i  ;  j  )        (  4  )


      (  4  )  ist glaub ich selbst erklärend.  Ich will mal gnädig sein;  diese Polynome bezeichne ich tatsächlich als ortogonal -   obgleich diese flapsige Sprechweise durchaus problematisch ist.  Aber so weit geht denn dein Prof doch nicht, ein Skalarprodukt zu stiften zwischen Polynomen einerseits und reellen Zahlen andererseits -  das ist dann doch zu abseitig.

    Solche Polynome existieren tatsächlich; Giuseppe Lodovico Spagettix Pomodoro Lagrangia da Torino hat sie explizit angegeben:


   

                     ( x - x0 ) .... ( x - x_i-1) ( x - x_i+1 ) ... ( x - x_n)

   p_i  :=   ----------------------------------------------------------------------

                 ( x_i - x0 ) .... ( x_i - x_i-1) ( x_i - x_i+1 ) ... ( x_i - x_n)


      (  5  )


   Es tut mir außerordentlich Leid, dass der Platz nicht mehr ausreicht.

   Nun weißt du, dass die Dimension von V gleich  (  n  +  1 ) beträgt.  Um als V  * durchzugehen,  müsste V * nach dem, was ich oben sagte, die selbe Dimension haben.  Da könnte ich ja her gehen und beliebig viele Stützstellen eingeben.

   Die Existenz   der Zerlegung   bzw.  Entwicklung hatten wir in ( 5 ) bewiesen;  das machst du übrigens ganz analog jedem anderen ortogonalen Funktionensystem.  Fehlt nur noch Eindeutigkeit. Sprich:  Wenn  das Interpolationspolynom in sämtlichen Knoten verschwindet, wäre es noch nicht das Nullpolynom.  Sowas ist an sich mit dem Prinzip hinter V * unvereinbar;   diejenige ( eindeutige ) Abbildung, die zu sämtlichen Fjn ktionen ortogonal ist, ist die Nullabbildung.

   Den Beweis findest du in allen einschlägigen Textbüchern; gesetzt den Fall, die   Polynome ( 5 ) wären linear abhängig.  Dann gäbe es eine nicht triviale Darstellung der Null.

   Ein Polynom, dessen Grad ( höchstens  )  n beträgt,  kann aber unmöglich ( n + 1 )  Nullstellen haben.

von 5,5 k

   Zu meiner Zeit war  "   Dual "  noch ein Plattenspieler; wir hatten so einen.  Mein Daddy hat sich " als "  tot geeimert über den Song  "  Das Cafe Oriental  "  , der übrigens mit einer  (  Paar weisen  )  Selbstbezüglichkeit operiert.  Also matematisch durchaus nicht trivial.

   Als Kind konnt ich da noch nicht lachen, weil mir der Mechanismus der dargestellten Beziehung noch nicht einleuchtete.

    wohl wusste ich, was Prügel sind. Aber das reichte eben nicht,  um das vorgetragene Motiv zu verstehen ...

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