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Sei V ein Vektorraum und P:V->V ein Endomoprhismus. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender aussagen.


i) P ist idempotent

ii) Die Einschränkung von P auf U:= Bild(P) ist die Identität.

iii) Es existieren Unterräume $$ U,W \subset V, sodass~U+W=V ~und~ P(u+w)=u~für~alle~u \in U~und~w \in W$$


Kann mir wer helfen zu mindest i=>ii zu zeigen? Ich komme irgendwie nicht wirklich in die Aufgabe hinein :/

von

1 Antwort

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i) ==> ii)

P idempotent Und sei w ∈ Bild(P) . d,.h. Es gibt v ∈ V mit P(v)=w

==>  P(v) = P(P(v) )

==>    w = P(w)  . Also P | Bild( P) = id Bild(P)  .

von 228 k 🚀

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