Geradengleichung einer zu E parallelen Gerade

Question

Folgende Aufgabe:

Geben Sie die Geradengleichung einer zu E parallelen Gerade durch den Punkt P =(10, 0, 0) an, deren Richtungsvektor orthogonal zu ⃗ ist.

E = (3, 0, -2) +  l*b + u*c

b=(-2, 2, 0) ; c=(0, 2, -4)

Lösungsansatz:

g: x=r+l*b

r ist der Richtungsvektor von Punkt P und b der Richtungsvektor der Gerade.

Da b orthogonal zu c sein soll => b*c=0

Dann eben alles aufgelöst nach den Variablen x,y,z

b=(0,2,1)

Also habe ich eine Gerade g: x=(10, 0, 0) + l*(0, 2, 1)

In der Lösung steht aber folgendes:

g: x=(10, 0, 0) + l*(-2.5, 2, 1)

Also eigentlich so gut wie richtig, nur dass der x-Wert mit -2.5 angegeben ist statt der 0.

Liegt es vielleicht daran, dass man für den x Wert eigentlich alle Zahlen einsetzen kann, da das Produkt sowieso 0 ist, oder habe ich irgendwas unbeachtet gelassen?

Answer 1

Normalenvektor der Ebene:

k·N = [-2, 2, 0] ⨯ [0, 2, -4] = - 4·[2, 2, 1]

Richtungsvektor der Gerade Senkrecht zu c

k·V = [0, 2, -4] ⨯ [2, 2, 1] = [10, -8, -4] = 2·[5, - 4, - 2] = - 4·[- 2.5, 2, 1]

Ich hatte hier als Richtungsvektor aber eher [5, - 4, - 2] genommen.