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f(x)=x^3-2x^2-5x+6

1. zeige dass 1 Nullstelle ist

2.berechne 3. Nullstelle

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Dass \(1\) eine Nullstelle ist, kann man einfach durch einsetzen von \(x = 1\) in die Funktionsgleichung überprüfen:

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\(f(1) = 1^3 - 2\cdot 1^2 -5\cdot 1 + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0\)

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Zum Berechnen der weiteren Nullstellen kann man einen Linearfaktor \((x - 1)\) ausklammern. Dazu kann man eine Polynomdivision durchführen.

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polydiv.PNG

Demnach ist \(f(x) = (x - 1)\cdot(x^2 - x - 6)\).

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Die weiteren Nullstellen von \(f\) erhält man, indem man die Nullstellen des verbliebenen quadratischen Terms berechnet. (Beispielsweise mit quadratischer Lösungsformel.)

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Die weiteren Nullstellen von \(f\) erhält man als Lösungen der Gleichung \(x^2 - x - 6 = 0\). Dazu kann man beispielsweise eine quadratische Lösungsformel verwenden ... \[\begin{aligned}x^2 - x - 6 = 0 \quad&\Longleftrightarrow\quad x =\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot 1}\\&\Longleftrightarrow\quad x=\frac{1\pm \sqrt{25}}{2} =\frac{1\pm 5}{2}\\&\Longleftrightarrow\quad x=\frac{1- 5}{2}=\frac{-4}{2}=-2\quad\text{ oder }\quad x= \frac{1+5}{2}=\frac{6}{2} = 3\end{aligned}\]

Demnach erhält man ingesamt, dass \(x_1 = 1\), \(x_2 = -2\), \(x_3 = 3\) die Nullstellen von \(f\) sind. Demnach ist dann übrigens \(f(x) = (x-1)\cdot(x+2)\cdot(x-3)\).

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Damit kann man nun den Graphen skizzieren, indem man die Nullstellen einzeichnet, und dann den Verlauf einer ganzrationalen Funktion 3-ten Grades skizziert, welche wegen des positiven Leitkoeffizienten für \(x\to \infty\) gegen \infty divergiert und für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\) divergiert.

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~plot~ x^3 - 2 * x^2 - 5 * x + 6; {1|0}; {-2|0}; {3|0}; [[-4|5|-6|10]] ~plot~

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von 1,2 k
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1. zeige dass 1 Nullstelle ist

f(1) berechnen.

2.berechne 3. Nullstelle

(x3-2x2-5x+6) : (x-1) mittels Polynomdivision berechnen.

Ergebnis = 0 setzen und Gleichung lösen.

von 76 k 🚀
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Einfach die 1 einsetzten und prüfen ob NUllraus kommt. Dann Polynomdivision.

von 33 k
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Hallo

1. x=1 einsetzen

2. durch (x-1) dividieren

3. die entstehende quadratische gleichung mit pq Formel lösen

für den Graph einen Funktionsplotter benutzen,z.B den den dur durch klicken auf Graphen über dem Eingabefenster erreichst.

Gruß lul

von 65 k 🚀

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