Konjugiert komplexe Gleichung Bachelor Etechnik (1 / (z* • z°) = (1+j) / (2z - z))

Question

Das ist die Aufgabe

1 / (z • z*) = (1+j) / (2z - z)

und ich bin so weit

(1/1+j) = (a² + b²) / (a + 3jb)

nun weiß ich nicht mehr weiter

Comments

(2z - z) , heißt das wirklich so?

Stelle doch bitte ein Photo ein.

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Sorry Leute, hab mich tatsächlich verschrieben und der Nenner der rechten Seite heißt

2z - z*

um so mehr bedanke ich mich für die schnelle Hilfe!

Answer 1

Ich kann nicht nachvollziehen wie du auf $a + 3\text{j} b$ im Nenner auf der rechten Seite gekommen bist.

Außer du hast dich verschrieben, und die Gleichung soll eigentlich

$\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{2z - z^*}$

statt

$\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{2z - z}$

lauten.

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Wenn die Gleichung

$\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{2z - z}$

lautet ...

$\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{2z - z}$

Nenner auf der rechten Seite vereinfachen.

$\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{z}$

Mit $z\cdot z^*$ multiplizieren.

$1 = (1+\text{j})\cdot z^*$

Durch $1+\text{j}$ dividieren. (Und die Seiten der Gleichung vertauschen.)

$z^* = \frac{1}{1+\text{j}}$

Komplex konjugieren.

$z = \frac{1}{1-\text{j}}$

Wenn man die Lösung gerne in kartesischer Form hat, kann man noch mit $1+\text{j}$ erweitern.

$z = \frac{1+\text{j}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{j}$

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Wenn die Gleichung stattdessen

$\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{2z - z^*}$

lautet ...

$\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{2z - z^*}$

Setze $z = a+\text{j}b$ mit $a, b\in\mathbb{R}$.

$\frac{1}{a^2 + b^2} = \frac{1+\text{j}}{2\cdot(a+\text{j}b) - (a-\text{j}b)}$

Vereinfache den Nenner auf der rechten Seite.

$\frac{1}{a^2 + b^2} = \frac{1+\text{j}}{a+3\text{j}b}$

Multipliziere mit $(a^2+b^2)\cdot(a+3b\text{j})$, um die Brüche loszuwerden.

$a+3b\text{j} = (1+\text{j})\cdot(a^2+b^2)$

Ausmultiplizieren auf der rechten Seite.

$a+3b\text{j} = a^2+b^2+(a^2+b^2)\cdot\text{j}$

Vergleiche Real- und Imaginärteil.

$a = a^2 + b^2\quad\text{ und }\quad 3b = a^2+b^2$

Gleichsetzen von $a^2 +b^2$.

$a = a^2 + b^2\quad\text{ und }\quad 3b = a$

Einsetzen von $a = 3b$ in die linke Gleichung.

$3b = (3b)^2 + b^2\quad\text{ und }\quad a = 3b$

$3b = 9b^2 + b^2\quad\text{ und }\quad a = 3b$

$3b = 10b^2\quad\text{ und }\quad a=3b$

1. Fall: $b = 0$

Dann folgt mit der rechten Gleichung auch $a = 0$. Damit wäre $z = 0$, was jedoch nicht im Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung liegt.

2. Fall: $b\ne 0$

Dann kann man bei der linken Gleichung durch $10 b$ dividieren.

$b = \frac{3}{10}\quad\text{ und }\quad a= 3b$

$b = \frac{3}{10}\quad\text{ und }\quad a= 3\cdot\frac{3}{10}=\frac{9}{10}$

Ergebnis:

$z = \frac{9}{10}+\frac{3}{10}\text{j}$

Comments

Habe mich tatsächlich verschrieben und die Aufgabe lautet

1 / (z* • z) = (1+j) / (2z - z*).